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MressortMecanique

La mécanique au collégial - Martin Aubé 2008

Le système masse ressort

Définitions

Avant de traiter plus spécifiquement du cas du système masse-ressort donnons quelques définitions liées aux mouvements périodiques.

• La fréquence (f) est le nombre de cycle par seconde
• La fréquence angulaire propre ({#\omega_p#}) est le nombre de radian par seconde qui correspond à l'oscillation naturelle d'un système harmonique {#\omega_p=2 \pi f#}
• La période (T) est le temps requis pour accomplir un cycle. Elle est l'inverse de la fréquence {#T=\frac{1}{f}#}
• La vitesse linéaire tangentielle à une trajectroire circulaire est donnée par {#v_t=\omega_p r#} , où r est le rayon de la trajectoire.
• L'amplitude est la valeur maximale de la variable soumise au cycle périodique.

Les équations du mouvement

Nous étudierons le mouvement d'une masse fixée à un ressort. Nous supposerons que la masse repose sur une surface horizontale sans frottement. Ainsi nous pouvons appliquer la deuxième loi de Newton à ce système.

{#\sum F_x = m a_x#}

{# -k (x-x_0) = m a_x#}

Toutefois dans cette équation nous pouvons constater que l'accélération ne peut être supposée constante car elle dépend de la position. Si nous faisons intervenir la définition de l'accélération, nous pouvons écrire:

{#-k (x-x_0) = m \frac{d^2x}{dt^2}#}

Si nous plaçons l'origine du système de coordonnées à la position de la masse lorsque le ressort n'est pas étiré, nous obtenons

{#-k x = m \frac{d^2x}{dt^2}#}

Le problème se résume à trouver une équation qui donne la position en fonction du temps et qui satisfait l'équation de Newton ci-haut. Nous commencerons par une méthode essai-erreur en tentant la fonction

Cette équation du mouvement se nomme mouvement harmonique simple.

La première dérivée de cette fonction donne la vitesse soit

{#v_x=\frac{dx}{dt}=A_0 \omega_p cos(\omega_p t + \phi)#}

En dérivant à nouveau nous obtenons l'accélération

{#a_x=\frac{d^2x}{dt^2}=- A_0 {\omega_p}^2 sin(\omega_p t + \phi)#}

Remplaçons ces tentatives pour x(t) et a_x(t) dans la 2^e loi de Newton

{#-k A_0 sin(\omega_p t + \phi) = - m A_0 {\omega_p}^2 sin(\omega_p t + \phi) #}

Cette équation se réduit à

{# -k = - m {\omega_p}^2 #}

Cette solution démontre que l'égalité est valide pour tout temps à condition que

Comme {#\omega_p = \frac{2 \pi}{T}#}, où T est la période d'oscillation, nous pouvons trouver la durée d'une oscillation qui est exclusivement dépendante de la constante de rappel du ressort et de la masse.

La variable A₀ représente l'amplitude du mouvement (la plus grande valeur de l'étirement du ressort) alors que {#\phi#} est le déphasage qui permet de tenir compte des conditions de vitesse et position à t=0.

Le système masse-ressort revêt une importance fondamentale en physique car il peut être comparé dans certaines circonstance à d'autres systèmes physiques plus complexes. Par exemple dans certaines limites, les forces liant les molécules d'un matériau se comportent comme des forces élastiques de sorte que la molécule aura un comportement similaire au système masse ressort. Une corde de guitare pourrait par exemple être assimilée à une longue chaîne de masse et de ressorts. Comme chaque masse est sujette à un mouvement périodique sinusoïdal et que chaque partie de la corde est similaire, les oscillations d'une partie de la corde auront tendance à induire des oscillation similaires dans les autres parties. Comme la transmission de l'oscillation ne se fait pas instantanément, il y a apparition d'une propagation de l'oscillation nommée onde. Tous les sytèmes mécanique solides, liquides, ou gazeux en une, deux, ou trois dimensions montrent de telles propriétés. La corde de guitare est un exemple d'onde à une dimension. La vague sur l'eau est quant à elle un exemple à deux dimensions alors que le son est un exemple à trois dimensions.