La mécanique au collégial - Martin Aubé 2008

Le pendule simple

Le pendule simple est constitué d'une masse suspendue au bout d'un fil de longueur r. Si nous soulevons la masse d'un angle {#\theta#} assez faible (moins de 5^o) en maintenant le fil tendu, puis la relâchons, elle sera entraînée dans un mouvement périodique.

Le mouvement de la masse se fait perpendiculairement au fil. Si on écrit la 2e loi de Newton le long de cette trajectoire l'accélération considérée sera l'accélération tangentielle (a_t).

{# \sum F_t = m a_t #}

{#-m g sin(\theta) = m a_t#}

Toutefois la position le long de la trajectoire peut être reliée à l'angle à partir de la définition d'un angle en radians.

{#\theta=\frac{l}{r}#}

où l est la longueur de l'arc de cercle soustendu entre le point le plus bas et la position de la masse. La première dérivée de {#\theta#} par rapport au temps donne

{#\frac{d\theta}{dt}=\frac{1}{r} \frac{dl}{dt} = \frac{v_t}{r} #}

En dérivant à nouveau nous obtenons l'accélération angulaire

{#\frac{d^2\theta}{dt^2}=\frac{1}{r} \frac{d^2l}{dt^2} = \frac{a_t}{r} #}

Soit {#a_t = r \frac{d^2\theta}{dt^2}#} que nous pouvons intégrer à l'équation de Newton.

{#-m g sin(\theta) = m r \frac{d^2\theta}{dt^2}#}

Pour de petits angles en radian, nous pouvons démontrer que {#sin(\theta) \approx \theta#} de sorte que l'équation peut s'écrire sous une forme approximative comme:

{#-m g \theta = m r \frac{d^2\theta}{dt^2}#}

Cette équation est tout à fait similaire à l'équation du système masse-ressort et par analogie pour pouvons rapidement établir que

{#\theta= \theta_0 sin(\omega_p t + \phi)#}

où

{#\omega_p=\sqrt{\frac{g}{r}}#}

La période d'oscillation d'un pendule simple ne dépend donc que de la valeur de g et de la longueur du pendule. La masse suspendue n'a aucune incidence sur la période d'oscillation. {#\theta_0#} est l'amplitude de l'oscillation en radians.

PenduleMecanique

Le pendule simple