La mécanique au collégial - Martin Aubé 2008

Les lois de Kepler

Les lois de Kepler décrivent le mouvement des planètes autour du Soleil. Elles ont été découvertes par Johannes Kepler de manière empirique à partir des observations faites par l'astronome Tycho Brahé. C'est quelques années plus tard que la théorie de la gravitation d'Isaac Newton permis l'explication des lois déduites par Kepler. Voici l'énoncé des trois lois de Kepler:

Le mouvement d'une planète suit une trajectoire elliptique autour du Soleil et ce dernier occupe l'un des foyers.
L'aire balayée par le vecteur planète-Soleil est proportionnel au temps pour parcourir la section d'orbite correspondante.
Dans le système solaire, le rapport du carré de la période orbitale (T) d'une planète sur le demi-grand axe de l'orbite (a) est constant.

{#\frac{T^2}{a^3} = k#}

Utilisons les lois de Newton pour démontrer la troisième loi de Kepler. Pour simplifier le calcul (pour s'assurer que le module de l'accélération de la planète soit constant), nous supposerons que l'orbite est circulaire. Notez que le cercle est une ellipse dégénérée (petit axe = grand axe).

Comme nous en avons déjà discuté, l'accélération centripète est donnée par la relation

{#a_r= -\omega^2 \vec{r} #}

Si nous supposons la planète et le Soleil sur l'axe des x, cette équation prends temporairement la forme

{#a_r= -\omega^2 x #}

Ainsi à l'aide de la 2^e loi de Newton, nous pouvons écrire

{#\sum F_x = -\frac{G m_s m_p}{x^2} = m_p a_r= m_p -\omega^2 x #}

{#\frac{G m_s }{x^2} =\omega^2 x #}

Par définition, la vitesse angulaire pour un mouvement circulaire uniforme est donné par {#\omega=\frac{2 \pi}{T}#}. Appliquons cette définition à l'équation précédente,

{#\frac{G m_s }{x^2} =\big[\frac{2 \pi}{T}\big]^2 x #}

En réorganisant le tout nous obtenons

{# \frac{T^2}{x^3} = \frac{4 \pi^2}{G m_s } #}

Ici x représente le rayon de l'orbite et pour le cercle {#r_p=a#}

{# \frac{T^2}{r_p^3} = \frac{4 \pi^2}{G m_s } #}

Exemple:

Déterminons l'altitude de l'orbite d'un satellite géostationnaire. Ce type de satellite, utilisé principalement pour la météo et pour les télécommunications (télévision, radio, téléphonie, et internet), est en rotation synchrone avec la Terre. Il fait donc un tour à chaque 23h 56m 04s (86 164 sec). De plus pour demeurer à une position relative fixe par rapport à la surface, il doit être situé dans le prolongement imaginaire du plan de l'équateur terrestre.

À l'aide de la loi de Kepler, nous pouvons déterminer le rayon orbital,

{# r_p= (\frac{G m_t T^2 }{4 \pi^2})^{\frac{1}{3}} #}

Si la masse de la Terre est de {#m_t=5,98 \times 10^{24} kg#} et que la période T est de 86164 secondes, nous obtenons

{# r_p \approx 42 200 000 m #}

Pour obtenir l'altitude orbitale (H) il faut retrancher le rayon équatorial de la Terre ({#\approx 6 400 000 m#}).

{# H \approx 42 200 000 - 6 400 000 = 35 800 000 m #}

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