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StructureMecanique

La mécanique au collégial - Martin Aubé 2008


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Analyse de structure

L'analyse des contraintes ou forces exercées dans les différentes composantes d'une structure en treillis peut être faite à partir des trois conditions d'équilibre appliqués alternativement à chacun des noeuds de la structure. Toutefois il est important de spécifier les hypothèses simplificatrices sur lesquelles repose notre méthode d'analyse.

  1. L'ensemble du système est contenu dans un même plan.
  2. La structure est suffisamment rigide pour être considérée indéformable. En pratique ce ne sera valide que si les déformations sont très petites devant la dimension de la structure.
  3. Les charges sont supposées être uniquement appliquées aux noeuds. Ainsi si le poids d'une barre doit être considéré, il sera réparti en deux parts égales sur les noeuds qui le délimitent. Pour un poids appliqué sur une barre entre deux noeuds, il sera réparti en deux parts inversément proportionnelles à la distance noeud-poids sur les noeuds qui le délimitent.
  4. Les barres sont supposées fixées à des articulations ponctuelles (noeuds) communes et à faible frottement.

Exemple:


Notre ami Richard est installé sur une ferme de toit tel qu'illustré ci-dessous. La base de la ferme de toit est large de 16 m et Richard se situe à 2 m à droite du centre de la structure. Nous supposerons ici que la masse de la structure est faible devant la masse de la charge (Richard).

Pour faciliter la discussion, nous avons étiqueté les barres et les noeuds de la structure. Si nous considérons la condition d'équilibre appliquée à l'ensemble du système, nous pouvons dresser le diagramme de force ci-dessous.

Si le pivot est positionné sur le noeud C, alors l'équilibre de rotation s'exprime comme

{# -10 m g sin(90^o) + 16 N_2 sin(90^o) = 0 #}

d'où

{# N_2 = \frac{10}{16} m g = \frac{5}{8} m g #}

Comme la somme des forces sur ce système doit aussi être nulle on peut écrire

{# -m g + N_2 + N_1 = 0 #}

d'où

{# N_1 = m g - N_2 = m g (1-\frac{5}{8}) = \frac{3}{8} m g #}

Comme chacun des noeuds est immobile, la somme des forces devrait être nulle dans chaque cas. De plus étant donné que nous négligeons la masse des barres, nous pouvons supposer que la force de tension ou de compression est uniforme dans une barre donnée.

  • Noeud C

  • Sur l'axe vertical:

{# N_1 -T_2 sin(30^o) = 0 #}

d'où {# T_2 = \frac{N_1}{sin(30^o)} = \frac{3}{4} m g #}

  • Sur l'axe horizontal:

{# T_3 -T_2 cos(30^o) = 0 #}

d'où {# T_3 = T_2 cos(30^o) = \frac{3}{4} m g cos(30^o) = \frac{3 \sqrt{3}}{8}#}

  • Noeud A

  • Sur l'axe horizontal:

{# T_4 -T_3 = 0 #}

d'où {# T_4 = \frac{3 \sqrt{3}}{8}#}

  • Sur l'axe vertical:

{# T_1 -\frac{3}{4} m g = 0 #}

d'où {# T_1 = \frac{3}{4} m g#}

  • Noeud B

  • Sur l'axe horizontal:

{# T_2 cos(30^o) -T_5 cos(30^o) = 0 #}

d'où {# T_5 = T_2 = \frac{3}{4} m g#}

  • Sur l'axe vertical:

{# T_2 sin(30^o) + T_5 sin(30^o) - T_1 = 0 #}

Cette équation est redondante.
  • Noeud D

  • Sur l'axe horizontal:

{# - T_4 + T_5 cos(30^o) = 0 #}

Cette équation est redondante.
  • Sur l'axe vertical:

{# N_2 - \frac{1}{4} m g - T_5 sin(30^o) = 0 #}

Cette équation est aussi redondante.

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