Exemple:

un professeur de physique de 80 kg que nous nommerons Richard se tient au bout d'un plongeon de 2 m de longueur. Le plongeon est ancré au sol par deux montants espacés de 0,5 m. Déterminez la force exercée par chacun des montants. Vous pouvez considérer que la masse du plongeon est négligeable face à celle du professeur.

Comme ce système est immobile (i.e. vitesse constante en translation et en rotation), il est en état d'équilibre de translation et de rotation. Ce système doit donc satisfaire les trois conditions suivantes:

{# \sum F_x = 0 #}

{# \sum F_y = 0 #}

{#\sum \vec\tau = 0#}

Ce système peut être représenté par le diagramme de force ci-dessous.

Les deux premières conditions d'équilibre citées ci-haut impliquent que la somme de {#N_1#} et {#N_2#} doit être égale à {#m g#}. Pour appliquer la troisième condition, il faut définir arbitrairement un point de pivot. Ce point est ici représenté par un bonhomme sourire. Nous avons choisi cette position parce que le moment de force qui sera associé à {#N_1#} deviendra nul (car le rayon pivot-force est nul) ce qui allégera nos calculs. Toutefois tout autre choix de pivot est valable. Avant de procéder au calcul de la somme est moments de force, il est intéressant de noter que dans ce processus il est toujours possible de glisser une force le long de sa direction pour la placer à un endroit qui facilite soit le calcul de l'angle entre le rayon et la force ou la grandeur du rayon lui-même. Ici nous utiliserons ce truc de sorte que le poids de Richard soit placé directement sur le plongeon tel qu'illustré sur la figure ci-dessous.

Nous nous affranchissons ainsi qu calcul de la distance diagonale entre le centre de masse du professeur et le pivot. Cette distance est maintenant simplement la longueur du plongeon. De plus l'évaluation de l'angle est grandement simplifiée. Ici l'angle entre le rayon et le poids sera de 90^o. Ainsi l'équilibre de rotation donne:

{#\sum \vec\tau = 0#}

{# 0,5 N_2 sin(90^o) - 2 m g sin(90^o) = 0#}

{# 0,5 N_2 - 2 m g = 0#}

{# N_2 = \frac{2 m g}{0,5} = 4 m g = 3136 N#}

Exemple:

Une automobile de 2000 kg est propulsée par traction avant et son moteur se situe à l'avant de sorte que le centre de masse de l'automobile se situe plus près des roues avant que des roues arrières.

Nous allons vérifier s'il est plus avantageux de monter une pente glacée à reculons ou par l'avant. Pour répondre à cette question nous tenterons de déterminer la force normale sur les roues de traction dans les deux situations puisque la valeur maximale du frottement statique est directement proportionnelle à cette force normale.

Montée à reculons

Pour analyser ce problème, nous utiliserons la condition d'équilibre de rotation selon laquelle la somme des moments de forces est nulle. Nous placerons notre pivot sous la roue arrière (qui est située vers le haut du plan). De cet endroit, les deux seules forces produisant un moment de force non nul sont la force normale N₁ et le poids mg. La distance séparant le pivot de N₁ est 2 m alors que la distance séparant le pivot et le centre de masse est donné par:

{#\sqrt{1,5^2+0,5^2}=1,58 m #}

De plus l'angle entre le poids et le vecteur pivot-CM est

{#atan(\frac{1,5}{0,5})+30=101,6^o #}

Ainsi nous pouvons écrire

{#\sum \vec \tau = 0 #}

{# -2 N_1 sin(90^o) + 1,58 m g sin(101,6^o) = 0 #}

d'où

{#N_1 = \frac{1,58}{2} m g sin(101,6^o) = 15167,7 N #}

Montée vers l'avant

Nous placerons encore notre pivot sous la roue arrière (qui est maintenant située vers le bas du plan). De cet endroit, les deux seules forces produisant un moment de force non nul sont la force normale N₁ et le poids mg. La distance séparant le pivot de N₁ est 2 m alors que la distance séparant le pivot et le centre de masse est donné par:

{#\sqrt{1,5^2+0,5^2}=1,58 m #}

De plus l'angle entre le poids et le vecteur pivot-CM est

{#atan(\frac{1,5}{0,5})-30=41,6^o #}

Ainsi nous pouvons écrire

{#\sum \vec \tau = 0 #}

{#2 N_1 sin(90^o) - 1,58 m g sin(41,6^o) = 0 #}

d'où

{#N_1 = \frac{1,58}{2} m g sin(41,6^o) = 10272 N #}

La normale N₁ sur la roue motrice étant plus grande lorsque l'automobile monte à reculons, il sera plus difficile de dépasser la limite de frottement statique ({#F_f \ge \mu_s N_1#}) dans ce cas. Donc il sera plus probable de monter une pente glacée sans déraper si la montée se fait à reculons.