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GraphiqueMecanique

La mécanique au collégial - Martin Aubé 2008

Fabrication et utilisation d’un graphique

La représentation graphique de données est un outil d'analyse puissant utilisé par le physicien. Dans un premier temps le fait de reporter des données sur un graphique permet de se faire une idée intuitive du comportement d'une variable par rapport à une autre. Le physicien utilise essentiellement le graphique pour deux raisons:

1. Pour tenter de déduire le comportement d'un système en fonction d'une variable par une méthode empirique.
2. Pour évaluer des constantes physiques si la fonction décrivant la relation entre les variables est déjà connue.

Par exemple si vous connaissez la 2^e loi de Newton qui stipule qu'en présence d'une seule force:

{# F=m a #}

et que vous procédez à une série de mesure de la force en fonction de l'accélération exercée sur une masse inconnue, vous pourrez déterminer cette masse simplement en traçant le graphique de F (abcisse) en fonction de a (ordonnée). La fonction de tendance qui semblera épouser la répartition moyenne des points sera une droite. Comme la loi de Newton nous indique que l'ordonnée à l'origine de cette droite est 0 (F=0 lorsque a=0), la pente de la fonction de tendance est égale à la masse inconnue. En fait dans ce genre d'analyse on assimile l'équation d'une droite à l'équation physique étudiée.

Pour une droite on a {# y=m x + b #} où y est l'abcisse, x l'ordonnée, m est la pente et b est l'ordonnée à l'origine (i.e. la valeur de y lorsque x=0). En comparant l'équation de la droite à la loi de Newton on remarque que F est l'équivalent de y, m de m, et a de x. Comme il n'y a pas de terme additif, b est nul.

Linéariser la représentation graphique

Cette méthode d'analyse peut être appliquée à des comportement physiques non linéaires pour autant que ces derniers soient linéarisés. Prenons l'exemple du nombre de désintégrations d'un échantillon radioactif. Ce nombre est donné par l'équation suivante:

{# N=N_0 e^{- {\lambda} t} #}

où N est le nombre de désintégrations par unité de temps à un moment quelconque, N₀ est le nombre de désintégrations initial, {# \lambda #} est la constante de désintégration, et t est le temps.

Une série de données expérimentales aurait l'apparence suivante sur un graphique de N en fonction du temps.

Alors que si nous traçons ln(N) en fonction du temps nous obtenions plutôt:

Notez que sur le graphique 2, la courbe de tendance devient une droite et nous pouvons donc déterminer la pente et l'ordonnée à l'origine. Notez aussi que les mesures sont affectées par une certaine erreur dont l'ampleur relative est plus perceptible pour les faibles valeurs de N. Pour pouvoir interpréter ce que représentent la pente et l'ordonnée à l'origine, faisons un peu de mathématiques.

{# ln(N)=ln(N_0 e^{- \lambda t}) #}

{# ln(N)=ln(N_0) + ln(e^{- \lambda t}) #}

{# ln(N)=ln(N_0) - \lambda t #}

Dans cette dernière équation, nous pouvons assimiler y à ln(N), x à t, b à ln(N₀) et enfin m à {# - \lambda #}. La valeur absolue de la pente est donc égale à la constante de désintégration.