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ForceMecanique

La mécanique au collégial - Martin Aubé 2008


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Notion de force

Nous pouvons avoir une notion intuitive de ce qu'est une force à partir de l'effort musculaire.

Depuis les travaux de Newton la force et la masse sont définis simultanément. La force est le vecteur obtenu lors du produit d'une masse par l'accélération qu'elle subit. L'unité de la force est le Newton (N) qui se traduit par Kg m s-2 dans le système MKSA.

Il y a deux types de forces, les forces réelles et les forces fictives.

  • Les forces réelles sont présentes indépendamment de l'observateur. Elles ne dépendent donc pas du système de référence.

Exemple:


  • la force de gravitation
  • la force coulombienne électrique
  • Les forces fictives sont dues au choix du référentiel (dit non-inertiel). Elles donnent l'impression d'une force réelle mais elles s'évanouissent dans un référentiel inertiel.

Exemple:


Jeu de baseball dans une classe tournante.

Toutes les personnes présentes dans la classe constaterons que la balle suit des trajectoires courbées. Ce type de force fictive est omniprésente en météorologie. En fait dans ce cas c'est la Terre qui est en rotation. Par rapport au sol, le mouvement des mobiles semble prendre des trajectoires courbes. Il s'agit de la force de coriolis. Cette force fictive est responsable des ouragans, du fait que l'eau tourne en s'écoulant dans un lavabo, que les vents suivent les isobares. Elle doit être aussi considérée lors du lancer de projectiles. Notez que le sens de la courbure des trajectoires est inversé d'un hémisphère à l'autre.

Force gravitationnelle

Comme vous pourrez le constater la notion de force est un élément central du cours. Aussi avant d'aller plus loin il est de mise de définir les diverses forces que interviendrons en mécanique classique. Nous sommes en train de constituer notre coffre à outil de physicien en herbe.

La première de ces forces est la force de gravitation qui survient entre deux masses. Selon Newton, cette force peut-être calculée à l'aide de l'équation suivante:

⚠ $ \frac {G m_1 m_2} {r^3} \vec{r}$

où G est la constante de gravitation universelle qui est égale à G=6,672x10-11 N m2 kg-2 .

La grandeur de cette force est donnée par:

⚠ $ {F_g}= \frac {G m_1 m_2} {r^2} $

Cette force montre une dépendance en inverse du carré de la distance séparant les deux masses. Cette équation s'applique à des masses dites ponctuelles (sans dimensions). Par contre dans le cas de masses sphériques il est possible de démontrer qu'elle s'applique exactement dans la mesure où la distance entre les masses est supérieure à la somme de leurs rayons respectifs (autrement dit en autant que les masses ne se chevauchent pas).

Pour des situations où la physique sur la masse m2 est faite dans une gamme de distances très petite devant la distance moyenne à la masse m1, il est possible de considérer que la variation en distance soit négligeable. C'est précisément le cas de la physique effectuée près de la surface terrestre. En effet, le rayon de la Terre est de l'ordre de 6000 km alors que l'essentiel des activités humaines se situent dans les 2 premier kilomètres d'altitude (Coucle planétaire limite).

Exemple:


Calculons la force de gravitation à proximité du sol terrestre. Le rayon moyen de la Terre est de rT=6,37x106 m et la masse de la Terre est de mT=5,98x1024 kg.

Donc la force de gravité ressentie par une masse m à la surface de la Terre est donnée par:

{##{F_g}= \frac {G m_T m} {{r_{T}}^2} ##}

{## {F_g}= m \big[ \frac {G m_T } {{r_{T}}^2} \big] ##}

{## {F_g}= m \big[ 9,83 \big] ##}

{## {F_g}= m g ##}

La valeur de 9,83 possède des unités de m s-2. Nous la nommons accélération gravitationnelle sur la Terre ou g. Elle correspond en fait à l'accélération que prend un corps en chute libre près de la surface de la Terre. Comme la Terre n'est pas parfaitement uniforme et sphérique et comme la Terre est en rotation (force fictive centrifuge), il y a des variation locales de la valeur de g en fonction de la position géographique.

Force normale

La force normale (N) est une force de réaction lorsque deux surfaces sont mises en contact. Comme son nom l'indique, la force normale est normale aux surfaces ou si vous préférez perpendiculaire à la tangente des surfaces en contact. Sa grandeur est déterminée par la composante résultante des autres forces dans sa propre orientation. Dans les limites de sa résistance mécanique, la surface tentera d'ajuster la force normale de sorte que la somme des forces dans l'axe perpendiculaire à la surface soit nul.

Tension et compression

Ces forces surviennent dans les câbles et tiges ou toute autre structure rigide. Elles sont toujours parallèles au câble ou à la tige.

Force de frottement

La force de frottement survient lorsqu'il y a adhérence même partielle entre deux surfaces. Elle est toujours parallèle aux surfaces en contact. Elle est provoquée par les aspérités des surfaces qui ont tendance à s'emboiter partiellement les une dans les autres.

Il y a deux type de frottement:

  1. le frottement statique qui survient lorsque les surfaces sont immobiles l'une par rapport à l'autre
  2. le frottement cinétique qui survient lorsque les surfaces glissent l'une par rapport à l'autre

Frottement statique

Le frottement statique s'ajuste à la demande de façon à empêcher tout mouvement dans le sens de la surface. Il vient donc annuller toutes les autres forces dans cette orientation. Toutefois le frottement statique possède une valeur maximale qui s'exprime comme:

{## F_f \ge \mu_s N ##}

où {# \mu_s #} est le coefficient de frottement statique.

Frottement cinétique

Le frottement cinétique se calcule comme suit:

{## F_f = \mu_c N ##}

où {# \mu_c #} est le coefficient de frottement cinétique.

Les coefficients de frottement {# \mu_s #} et {# \mu_c #} dépendent des types de surfaces en contact. Ces valeurs doivent être caractérisées expérimentalement.

Dans tous les cas nous remarquons que

{## \mu_c \lt \mu_s ##}

Frottement dans un fluide


Un objet en mouvement dans un fluide est soumis à une force de frottement dépendant de la vitesse qui répond à l'équation:

{## F_f= \frac{1}{2} C_D \rho v^2 A ##}

où {# C_D #} est le coefficient de trainée, {#\rho #} est la masse volumique du fluide, {# v #} est la vitesse de l'objet et {# A #} est la section de l'objet perpendiculaire à la vitesse.

La valeur de {# C_D #} dépend du régime d'écoulement qui est caractérisé par le nombre de Reynolds {# N_R #}.

{## N_R = \frac{2 v \rho r }{\mu} ##}

où {# \mu #} est la viscosité du fluide en Poiseuille (Pa s ou kg m-1 s-1) et r est le rayon moyen de l'objet. Pour voir un tableau de valeurs de viscosités cliquer ici. Pour voir les valeurs de masse volumiques des fluides cliquer ici. Les valeurs doivent être converties en unités de kg/m3.

Pour un objet sphérique:

  1. si {# N_R \lt 1 #}, l'écoulement est laminaire et alors {# C_D = \frac{24}{N_R} #}
  2. si {# 1 \ge N_R \lt 1000 #}, nous sommes en régime de transition et {# C_D = 18 {N_R}^{-0,6} #}
  3. si {# 1000 \ge N_R \lt 2x10^5 #}, l'écoulement est turbulent et {# C_D = 0,47 #}

Voici un tableau des valeurs de {# C_D #} en régime turbulent en fonction de la géométrie de l'objet.

Forme{# C_D #} 
Plaque mince1,28 
Sphère0,47
Demi-sphère0,42
Cube1,05
Cube tourné0,8
Cône0,5
Cylindre court1,15
Cylindre long0,82
Goutte0,04
Demi-goutte0,09
Balle de fusil0,3 

Force élastique

Il s'agit de la force exercée par un ressort idéal. Pour ce dispositif, la force est inverse au changement d'élongation du ressort mais sa grandeur est directement proportionnelle à son élongation.

{## \vec{F}_r = -k (x-x_0) \vec{i} ##}

Plusieurs matériaux montre une résistance à l'élongation ou à la compression similaire à celle des ressorts. Toutefois si la force ou le changement d'élongation est trop grand, il se peut que la force ne soit plus proportionnelle au changement d'élongation. Dans ce cas le matériaux a un comportement plastique. Si la force est relâchée, le matériau ne reprendra pas sa forme d'origine contrairement au comportement élastique. L'augmentation graduelle de la force ou de la variation de l'élongation conduit à la rupture du matériau.

Force centripète

Supposons le mouvement circulaire uniforme d'une masse. L'angle que fait le vecteur position de la masse par rapport à l'axe des x est proportionnel au temps.

Pour simplifier nous supposons qu'à t=0, l'angle est nul. Nous pouvons alors écrire les composantes x et y du vecteur position comme:

{## x=r cos(\omega t) ##}

{## y=r sin(\omega t) ##}

En prenant la dérivée du vecteur position (i.e. la dérivée de chaque composante) nous obtenons le vecteur vitesse (les composantes de la vitesse).

{## \frac{dx}{dt} = v_x = -r \omega sin(\omega t) ##}

{## \frac{dy}{dt} = v_y = r \omega cos(\omega t) ##}

Prenons à nouveau la dérivée temporelle des composantes de la vitesse pour obtenir les composantes de l'accélération.

{## \frac{dv_x}{dt} = a_x = -r \omega^2 cos(\omega t) ##}

{## \frac{dv_y}{dt} = a_y = -r \omega^2 sin(\omega t) ##}

Notez que nous retrouvons la formulation de x et y dans ces dernières équations.

{## a_x = -\omega^2 x ##}

{## a_y = -\omega^2 y ##}

La grandeur du vecteur accélération est obtenu à l'aide du théorème de Pythagore:

{## a=\sqrt{{a_x}^2+{a_y}^2} = \sqrt{\omega^4 ({x}^2+{y}^2)} ##}

{## a= \omega^2 r ##}

Comme {# \omega=\frac{v}{r} #}, l'accélération centripète peut aussi s'écrire comme.

{## a= \frac{v^2}{r} ##}

La pression et la poussée d'Archimède

La pression est définie comme la force par unité de surface. L'unité de la pression dans le système international est le pascal qui correspond a 1 Newton/ metre carré.

La poussée d'Archimède est en quelque sorte la force de flotaison. C'est une force verticale vers le haut et sa grandeur correspond au poids du fluide déplacé par la présence d'un corps. Pour trouver ce poids, il suffit de trouver le produit de la masse volumique ({#\rho_{fluide}#}) du fluide avec le volume ({#V#}) du corps plongé dans le fluide.

{## F_p= \rho_{fluide} \times V g ##}

La pression en fonction de la profondeur dans l'eau

L'eau est un fluide incompressible. Au fur et à mesure que vous plongez profondément dans l'eau une masse d'eau de plus en plus importante vous sépare de la surface. La pression à une profondeur (h) donnée est la somme de la pression à la surface (donc la pression atmosphérique (patm)) avec le poids de l'eau au-dessus d'une surface de 1 m2 située à cette profondeur. Comme la pression est une force par unité de surface de 1 m2

{## p(h)= p_{atm} + \frac{\rho_{eau} \times 1 m^2 \times h \times g}{1 m^2} = p_{atm} + \rho_{eau} \times h \times g##}

où g est la constante de gravité (9,8 m/s sur la Terre).

La pression dans les gaz

La situation des gaz est différente de celle des liquides puisque le gaz est un fluide compressible. Autrement dit, à mesure que vous augmentez la pression, le volume occupé par le gaz sera réduit. Ceci rend le comportement du gaz plus complexe que celui du liquide. Il est toutefois possible d'établir une relation entre la pression et le volume. Une telle relation se nomme la fonction d'état. Dans le cas d'un gaz parfait ou les interaction entre les particules sont faibles, on peut démontrer que l'équation d'état prends la forme suivante:

{## p V = N k_B T ##}

où p est la pression du gaz, V est le volume du gaz, N est le nombre de particules et T la température en kelvin. La constante kB est la constante de Boltzmann qui vaut 1,38064852 × 10-23 m2 kg s-2 K-1.

Tout comme la pression en profondeur dans un liquide, la pression atmosphérique correspond au poids de l'air au-dessus d'une surface de 1 m'^2' entre l'endroit étudié et l'espace. Toutefois comme l'air est un gaz la masse volumique {#\rho#} de l'air diminue avec l'altitude. Cette diminution est de forme quasi exponentielle. De plus comme la température en fonction de l'altitude dépend de plusieurs phénomènes physiques variables (p. ex. à certaines altitudes l'ozone absorbe les ultra-violets), l'équation de la pression en fonction de l'altitude n'est pas simple. On utilise généralement des ballons sondes pour déterminer ce profil de pression qui change en fonction du temps et du site géographique.


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