Exemple:

La loi de la gravitation universelle donne l'expression de la force de gravité exercée par la masse ponctuelle {# m_2 #} sur la masse ponctuelle {# m_1 #}.

{## \vec{F}_1 = \frac{G m_1 m_2}{r^3} \vec r ##}

où G est la constante de gravité, {# m_1 #} et {# m_2 #} les masses qui s'attirent et {# \vec r #} le vecteur de la position de {# m_2 #} par rapport à {# m_1 #}.

Toutefois dans la réalité bien peu de masses sont effectivement ponctuelles. Les objets soumis à la gravité ont souvent des formes et dimensions non ponctuelles. Supposez par exemple que vous souhaitez trouver la force de gravité exercée par un spaghetti de longueur L sur un grain de sel. Cette force sera bien entendue très faible en raison des faibles masses impliquées. Intuitivement nous pouvons nous attendre à ce que la force exercée par le spaghetti ne suive pas nécessairement la décroissance en {# \frac{1}{r^2} #}. Pour résoudre ce type de problème, nous faisons appel à l'intégrale. En fait l'idée est de découper le problème en la somme des forces exercées par une multitude de petits bouts de spaghettis ayant une masse dm mis bout à bout le long d'un segment de droite de longueur L.

{## \vec{F}_{spaghetti}=\int_{r-\frac{L}{2}}^{r+\frac{L}{2}} {\frac{G m_1 dm}{r^3} \vec r}##}

Si nous nous plaçons dans l'axe du spaghetti cette intégrale se traduirait par:

{## \vec{F}_{spaghetti}=G m_1 \int_{r-\frac{L}{2}}^{r+\frac{L}{2}} {\frac{\rho dr}{r^3} \vec r}##}

où {# dm = \rho dr #}, {# \rho #} étant la densité linéaire du spaghetti (masse par unité de longueur). Dans l'axe du spaghetti, le problème se réduit à une intégrale à une dimension et donc nous pouvons nous affranchir de la notation vectorielle ce qui conduit à:

{## F_{spaghetti}=G m_1 \rho \int_{r-\frac{L}{2}}^{r+\frac{L}{2}} {\frac{ dr}{r^2} }##}

{## F_{spaghetti}= - G m_1 \rho \big[_{r-\frac{L}{2}}^{r+\frac{L}{2}} {\frac{1}{r} }\big] ##}

{## F_{spaghetti}= G m_1 \rho \big[ \frac{1}{r-\frac{L}{2}} - \frac{1}{r+\frac{L}{2}} \big] ##}

{## F_{spaghetti}= \frac{4 L G m_1 \rho}{4 r^2 + L^2} ##}

Exemple:

Nous pouvons utiliser le résultat de l'intégration du spaghetti pour déterminer la force exercée par une feuille de lasagne. Dans ce cas, nous considérons que la feuille de lasagne est la somme d'un grand nombre de spaghettis mis côte à côte.