La mécanique au collégial - Martin Aubé 2008 
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Équivalence avec les lois de translation
Nous aborderons ce sujet en définissant un abcdaire nous permettant de transposer les équation de la translation au situation rotatives.
| Translation | Rotation |
| x ou y | {#\theta#} |
| vx ou vy | {#\omega#} |
| ax ou ay | {#\alpha#} |
| {#\vec F#} | {#\vec \tau#} |
| m | I |
| t | t |
| {#\vec P#} | {#\vec L#} |
Les éléments surlignés en rose seront définis ultérieurement.
Par exemple l'équation du mouvement d'une masse à vitesse constante est
{##x=v_{x0} t + x_0##}
Ainsi l'équation du mouvement d'un objet en rotation à vitesse constante est donnée par
| {##\theta=\omega_0 t + \theta_0##} |
De même les équations du mouvement à accélération constante peut être écrite comme {#x=\frac{1}{2} a t^2 + v_0 t + x_0 v_{x0} t + x_0#} et {#v_x = a t + v_{x0}#} sont transposées comme
| {##\theta = \frac{1}{2} \alpha t^2 + \omega_0 t + \theta_0 ##} |
| {##\omega = \alpha t + \omega_0 ##} |
où {#\alpha#} = constante.
Nous pouvons aussi transposer la 2e loi de Newton pour la rotation ce qui donne
| {##\sum \tau = I \alpha##} |
Exemple:
Soit un disque de 2 kg et de 10 cm de rayon sur lequel on enroule une ficelle qui est fixée à une masse cd 100 g. Déterminez l'accélération verticale de la masse suspendue.
La 2e loi de Newton appliquée à la masse m s'écrit comme
{##\sum F_y = T-mg= m a##} (1)
Toutefois nous ne connaissons pas la valeur de la tension. Nous avons donc deux inconnues (a et T) ce qui requiert deux équations pour être résolu. Nous ferons appel à la transposition de la loi de Newton au cas de la rotation de la roue.
{##\sum \vec \tau = I \alpha##}
{##R T sin(90^o) = I \alpha##}
et au fait que comme la ficelle est en contact avec la circonférence de la roue
{##\alpha=a/r##}
Dans notre cas comme a sera négative, nous devons nous assurer que {#\alpha#} le sera aussi afin que l'équation précédente soit juste en terme de signes. Le moment de force net exercé sur la roue (ici par la tension) étant négatif, {#\alpha#} est nécessairement négatif ce qui confirme que l'équation ci-dessus est cohérente en termes de signes. Si nous avions défini notre axe y à l'inverse, il aurait été nécessaire me mettre un signe moins devant a/r.
{##R T sin(90^o) = I \frac{a}{R}##}
Comme le moment d'inertie d'un disque est donné par
{##I = \frac{1}{2} m_r R^2 ##}
Nous obtenons
{##R T sin(90^o) = \frac{1}{2} m_r R^2 \frac{a}{R} ##}
En réorganisant cette équation et en calculant la valeur du sinus, nous obtenons
{##T = \frac{1}{2} m_r a ##}
Que nous pouvons substituer dans l'équation (1)
{##\frac{1}{2} m_r a-mg= m a##}
Puis nous isolons a
{##a (\frac{1}{2} m_r -m) a = m g##}
{## a = \frac{m g}{(\frac{1}{2} m_r -m)} = \frac{0,1 \times 9,8}{\frac{2}{2}-0,1} = 1,09 m/s^2##}
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