La mécanique au collégial - Martin Aubé 2008

Équivalence avec les lois de translation

Nous aborderons ce sujet en définissant un abcdaire nous permettant de transposer les équation de la translation au situation rotatives.

Translation	Rotation
x ou y	{#\theta#}
v_x ou v_y	{#\omega#}
a_x ou a_y	{#\alpha#}
{#\vec F#}	{#\vec \tau#}
m	I
t	t
{#\vec P#}	{#\vec L#}

Les éléments surlignés en rose seront définis ultérieurement.

Par exemple l'équation du mouvement d'une masse à vitesse constante est

{##x=v_{x0} t + x_0##}

Ainsi l'équation du mouvement d'un objet en rotation à vitesse constante est donnée par

{##\theta=\omega_0 t + \theta_0##}

De même les équations du mouvement à accélération constante peut être écrite comme {#x=\frac{1}{2} a t^2 + v_0 t + x_0 v_{x0} t + x_0#} et {#v_x = a t + v_{x0}#} sont transposées comme

{##\theta = \frac{1}{2} \alpha t^2 + \omega_0 t + \theta_0 ##}

{##\omega = \alpha t + \omega_0 ##}

où {#\alpha#} = constante.

Nous pouvons aussi transposer la 2^e loi de Newton pour la rotation ce qui donne

{##\sum \tau = I \alpha##}

Exemple:

Soit un disque de 2 kg et de 10 cm de rayon sur lequel on enroule une ficelle qui est fixée à une masse cd 100 g. Déterminez l'accélération verticale de la masse suspendue.

La 2^e loi de Newton appliquée à la masse m s'écrit comme

{##\sum F_y = T-mg= m a##} (1)

Toutefois nous ne connaissons pas la valeur de la tension. Nous avons donc deux inconnues (a et T) ce qui requiert deux équations pour être résolu. Nous ferons appel à la transposition de la loi de Newton au cas de la rotation de la roue.

{##\sum \vec \tau = I \alpha##}

{##R T sin(90^o) = I \alpha##}

et au fait que comme la ficelle est en contact avec la circonférence de la roue

{##\alpha=a/r##}

Dans notre cas comme a sera négative, nous devons nous assurer que {#\alpha#} le sera aussi afin que l'équation précédente soit juste en terme de signes. Le moment de force net exercé sur la roue (ici par la tension) étant négatif, {#\alpha#} est nécessairement négatif ce qui confirme que l'équation ci-dessus est cohérente en termes de signes. Si nous avions défini notre axe y à l'inverse, il aurait été nécessaire me mettre un signe moins devant a/r.

{##R T sin(90^o) = I \frac{a}{R}##}

Comme le moment d'inertie d'un disque est donné par

{##I = \frac{1}{2} m_r R^2 ##}

Nous obtenons

{##R T sin(90^o) = \frac{1}{2} m_r R^2 \frac{a}{R} ##}

En réorganisant cette équation et en calculant la valeur du sinus, nous obtenons

{##T = \frac{1}{2} m_r a ##}

Que nous pouvons substituer dans l'équation (1)

{##\frac{1}{2} m_r a-mg= m a##}

Puis nous isolons a

{##a (\frac{1}{2} m_r -m) a = m g##}

{## a = \frac{m g}{(\frac{1}{2} m_r -m)} = \frac{0,1 \times 9,8}{\frac{2}{2}-0,1} = 1,09 m/s^2##}