La mécanique au collégial - Martin Aubé 2008

Le centre de masse

La mécanique s'articule souvent autour du concept de masse ponctuelle. Toutefois il s'agit d'un concept très théorique et pour appliquer adéquatement les lois de la physique à des objets non pontuels ils est intéressant de définir le concept de centre de masse. Le centre de masse est un point qui permet de représenter un objet non ponctuel sur le plan de sa translation.

Le calcul du centre de masse se fait comme suit:

{# \vec{r}_{CM} = \frac{\sum_{i}{m_i \vec{r_i}}}{\sum_{i} m_i} #}

Ce qui s'exprime en composantes comme

{# x_{CM} = \frac{\sum_{i}{m_i x_i}}{\sum_{i} m_i} #}

{# y_{CM} = \frac{\sum_{i}{m_i y_i}}{\sum_{i} m_i} #}

Le centre de masse d'objets réguliers composés

Pour des objets réguliers de densité uniforme, le centre de masse se situe au centre géométrique. Pour des objets plus complexes, nous tenterons si possible de les ramener à une combinaison de formes régulières.

Exemple:

L'objet de densité et d'épaisseur uniforme ci-haut de 8 kg est décomposé virtuellement en deux objets plus simples, un carré de 2x2 et un rectangle de 1x4. Nous déterminons d'abord le centre de masse de chacun des objets. Si nous plaçons l'origine des coordonnées au coin inférieur gauche de l'objet, la position du centre de masse du rectangle est x₁=2 et y₁=0,5 alors que le centre de masse du carré est x₂=3 et y₂=2. Comme la densité et l'épaisseur est constante, la masse de chaque morceau est proportionnelle à l'aire (m₁=4 et m₂=4). Ainsi nous pouvons trouver le centre de masse de l'ensemble.

{# x_{CM}=\frac{x_1 m_1 + x_2 m_2}{m_1+m_2}=\frac{2 \times 4 + 3 \times 4}{4+4}=2,5 #}

{# y_{CM}=\frac{y_1 m_1 + y_2 m_2}{m_1+m_2}=\frac{0,5 \times 4 + 2 \times 4}{4+4}=1,25 #}

Donc cet objet peut être assimilé à une masse ponctuelle de 8 kg située à x=2,5 et y=1,25.

CmasseMecanique

Le centre de masse

Le centre de masse d'objets réguliers composés