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OrdreMecaniqueLa mécanique au collégial - Martin Aubé 2008
Ordre de grandeur et unitésLe système d'unitésLes unitiés utilisées sont les unités de bases du système international (SI). L'ensemble des phénomènes physiques peuvent être décrits avec un jeu de quatre unités, le mètre, le kilogramme, la seconde et l'ampere (MKSA). Toutes les autres unités sont obtenues d'une combinaison des ces unités de base. Pour des raison d'économie d'écriture il est fréquent que des unités soient définies pour certains concepts. Par exemple, le Newton (N) est utilisé comme unité de force mais le Newton est en fait décliné en kg m s-2 dans le MKSA. De même la Joule, qui est l'unité d'énergie, est décliné en kg m2 s-2 . Analyse dimensionnelleCe système d'unité cohérent offre l'avantage qu'il permet de procéder aisément à des analyses dimentionnelles. L'analyse dimensionnelle consiste à insérer les unités au lieu des valeurs dans une équation. Ce genre d'analyse est particulièrement utile pour vérifié si un résultat théorique tient la route en terme d'unités. Si tel n'est pas le cas, il faut en déduire qu'une erreur est survenue lors du développement théorique. Exemple: La vitesse verticale d'un corps en chute libre sans frottement à partir d'une hauteur initiale h est donnée par {# v=\sqrt{2 g h} #} Si nous remplaçons chacune de variables pas ses unités, nous pouvons vérifier si l'équation est cohérente du point de vue des unités. {#[\frac{m}{s}] =\sqrt{[\frac{{m}}{s^2}] [{m}]} = \frac{{[m]}}{[s]}#} Notez que le 2 est un nombre pur sans dimensions (sans unités).
Les ordres de grandeursÀ l'instar de l'analyse dimensionnelle, le calcul d'ordre de grandeur constitue un puissant outil de vérification qui permet de dépister d'éventuelle erreurs soit dans le développement théorique ou dans l'application numérique. Cette méthode comporte deux éléments importants:
Pour bien illustrer cette méthode voici deux exemples simples: Exemple 1: Supposons que l'on désire déterminer la vitesse de croisière d'un avion de ligne. La méthode exacte impliquera une savant calcul d'aérodynamique du l'engin couplé à une résolution de la poussée produite par les réacteurs. Il est toutefois possible d'arriver à un estimé de cette vitesse en se servant de la définition de la vitesse moyenne et d'un estimé de ces variable que nous ferons à partir de notre expérience de vie. La vitesse moyenne est par définition donnée par {# v_{moy}= \frac {d} {t} #} où d est la distance parcourue et t, le temps requis pour parcourir cette distance. La distance estimée sera choisie parmi les puissances de 10. La question est: À quelle puissance de 10 d devrait se rapprocher le plus. C'est un peu comme si nous avions à faire un choix de réponse parmi les valeurs suivantes en km {..., 1, 10, 100, 1000, 10000, 100000, ...}. Comme le rayon de la Terre est approximativement de 6000 km et que sa circonférence est donc approximativement de 36000 km nous pouvons estimer la distance Montréal-Paris à 10000 km (plus proche puissance de 10). De même le temps typique pour parcourir le trajet Montréal-Paris est de 6 heures. Nous choisirons donc t parmi les valeurs suivantes en {..., 6 min., 1 h, 10 h, 100 h, ...}. Le choix sera évidemment porté vers 10 h! La vitesse estimée à un facteur 10 près est donc {# v_{moy} \approx \frac {10000 km} {10 h} = 1000 \frac{km}{h}#} Exemple 2: Nous désirons estimer la volume d'eau contenu dans le lac Memphrémagog en Estrie, Québec. Pour ce faire nous assimilerons le volume du lac a celui d'un prisme rectangulaire. Le volume d'un tel prisme est donné par: {# V = longueur \times largeur \times profondeur #} Encore une fois nous estimerons ces trois dimensions à un facteur 10 près. Nous ferons le calcul en m. Ce lac est fait en longueur et se rend jusqu'aux États Unis à partir de Magog. Cette distance est clairement plus grande que 10 km et plus petite que 1000 km. Nous retiendrons donc 100 km (100000 m). Pour sa largeur elle est forcément plus petite que la longueur. Nous avons donc à choisir entre 10 km ou 1 km. Intuitivement 10 km (10000 m) semble adéquat. Enfin il est reconnu que le lac est très profond à certains endroits mais une profondeur moyenne de 100 m semble surestimée (la profondeur maximale est de l'ordre de 100 pieds soit environ 30 m). Nous choisirons donc 10 m. Le volume estimé est donc {# V = 100000 m \times 10000 m \times 10 m = 10^{10} m^3 #}
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