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ForceMecanique

La mécanique au collégial - Martin Aubé 2008

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Notion de force

Nous pouvons avoir une notion intuitive de ce qu'est une force à partir de l'effort musculaire.

Depuis les travaux de Newton la force et la masse sont définis simultanément. La force est le vecteur obtenu lors du produit d'une masse par l'accélération qu'elle subit. L'unité de la force est le Newton (N) qui se traduit par Kg m s^-2 dans le système MKSA.

Il y a deux types de forces, les forces réelles et les forces fictives.

• Les forces réelles sont présentes indépendamment de l'observateur. Elles ne dépendent donc pas du système de référence.

• Les forces fictives sont dues au choix du référentiel (dit non-inertiel). Elles donnent l'impression d'une force réelle mais elles s'évanouissent dans un référentiel inertiel.

Force gravitationnelle

Comme vous pourrez le constater la notion de force est un élément central du cours. Aussi avant d'aller plus loin il est de mise de définir les diverses forces que interviendrons en mécanique classique. Nous sommes en train de constituer notre coffre à outil de physicien en herbe.

La première de ces forces est la force de gravitation qui survient entre deux masses. Selon Newton, cette force peut-être calculée à l'aide de l'équation suivante:

{## \vec{F_g}= \frac {G m_1 m_2} {r^3} \vec{r} ##}

où G est la constante de gravitation universelle qui est égale à G=6,672x10^-11 N m² kg^-2 .

La grandeur de cette force est donnée par:

{## {F_g}= \frac {G m_1 m_2} {r^2} ##}

Cette force montre une dépendance en inverse du carré de la distance séparant les deux masses. Cette équation s'applique à des masses dites ponctuelles (sans dimensions). Par contre dans le cas de masses sphériques il est possible de démontrer qu'elle s'applique exactement dans la mesure où la distance entre les masses est supérieure à la somme de leurs rayons respectifs (autrement dit en autant que les masses ne se chevauchent pas).

Pour des situations où la physique sur la masse m₂ est faite dans une gamme de distances très petite devant la distance moyenne à la masse m₁, il est possible de considérer que la variation en distance soit négligeable. C'est précisément le cas de la physique effectuée près de la surface terrestre. En effet, le rayon de la Terre est de l'ordre de 6000 km alors que l'essentiel des activités humaines se situent dans les 2 premier kilomètres d'altitude (Coucle planétaire limite).

Force normale

La force normale (N) est une force de réaction lorsque deux surfaces sont mises en contact. Comme son nom l'indique, la force normale est normale aux surfaces ou si vous préférez perpendiculaire à la tangente des surfaces en contact. Sa grandeur est déterminée par la composante résultante des autres forces dans sa propre orientation. Dans les limites de sa résistance mécanique, la surface tentera d'ajuster la force normale de sorte que la somme des forces dans l'axe perpendiculaire à la surface soit nul.

Tension et compression

Ces forces surviennent dans les câbles et tiges ou toute autre structure rigide. Elles sont toujours parallèles au câble ou à la tige.

Force de frottement

La force de frottement survient lorsqu'il y a adhérence même partielle entre deux surfaces. Elle est toujours parallèle aux surfaces en contact. Elle est provoquée par les aspérités des surfaces qui ont tendance à s'emboiter partiellement les une dans les autres.

Il y a deux type de frottement:

1. le frottement statique qui survient lorsque les surfaces sont immobiles l'une par rapport à l'autre
2. le frottement cinétique qui survient lorsque les surfaces glissent l'une par rapport à l'autre

Frottement statique

Le frottement statique s'ajuste à la demande de façon à empêcher tout mouvement dans le sens de la surface. Il vient donc annuller toutes les autres forces dans cette orientation. Toutefois le frottement statique possède une valeur maximale qui s'exprime comme:

{## F_f \ge \mu_s N ##}

où {# \mu_s #} est le coefficient de frottement statique.

Frottement cinétique

Le frottement cinétique se calcule comme suit:

{## F_f = \mu_c N ##}

où {# \mu_c #} est le coefficient de frottement cinétique.

Les coefficients de frottement {# \mu_s #} et {# \mu_c #} dépendent des types de surfaces en contact. Ces valeurs doivent être caractérisées expérimentalement.

Dans tous les cas nous remarquons que

{## \mu_c \lt \mu_s ##}

Force élastique

Il s'agit de la force exercée par un ressort idéal. Pour ce dispositif, la force est inverse au changement d'élongation du ressort mais sa grandeur est directement proportionnelle à son élongation.

{## \vec{F}_r = -k (x-x_0) \vec{i} ##}

Plusieurs matériaux montre une résistance à l'élongation ou à la compression similaire à celle des ressorts. Toutefois si la force ou le changement d'élongation est trop grand, il se peut que la force ne soit plus proportionnelle au changement d'élongation. Dans ce cas le matériaux a un comportement plastique. Si la force est relâchée, le matériau ne reprendra pas sa forme d'origine contrairement au comportement élastique. L'augmentation graduelle de la force ou de la variation de l'élongation conduit à la rupture du matériau.

Force centripète

Supposons le mouvement circulaire uniforme d'une masse. L'angle que fait le vecteur position de la masse par rapport à l'axe des x est proportionnel au temps.

Img:centri.jpg

Pour simplifier nous supposons qu'à t=0, l'angle est nul. Nous pouvons alors écrire les composantes x et y du vecteur position comme:

{## x=r cos(\omega t) ##}

{## y=r sin(\omega t) ##}

En prenant la dérivée du vecteur position (i.e. la dérivée de chaque composante) nous obtenons le vecteur vitesse (les composantes de la vitesse).

{## \frac{dx}{dt} = v_x = -r \omega sin(\omega t) ##}

{## \frac{dy}{dt} = v_y = r \omega cos(\omega t) ##}

Prenons à nouveau la dérivée temporelle des composantes de la vitesse pour obtenir les composantes de l'accélération.

{## \frac{dv_x}{dt} = a_x = -r \omega^2 cos(\omega t) ##}

{## \frac{dv_y}{dt} = a_y = -r \omega^2 sin(\omega t) ##}

Notez que nous retrouvons la formulation de x et y dans ces dernières équations.

{## a_x = -\omega^2 x ##}

{## a_y = -\omega^2 y ##}

La grandeur du vecteur accélération est obtenu à l'aide du théorème de Pythagore:

{## a=\sqrt{{a_x}^2+{a_y}^2} = \sqrt{\omega^4 ({x}^2+{y}^2)} ##}

{## a= \omega^2 r ##}

Comme {# \omega=\frac{v}{r} #}, l'accélération centripète peut aussi s'écrire comme.

{## a= \frac{v^2}{r} ##}

La pression et la poussée d'Archimède

La pression est définie comme la force par unité de surface. L'unité de la pression dans le système international est le pascal qui correspond a 1 Newton/ metre carré.

La poussée d'Archimède est en quelque sorte la force de flotaison. C'est une force verticale vers le haut et sa grandeur correspond au poids du fluide déplacé par la présence d'un corps. Pour trouver ce poids, il suffit de trouver le produit de la masse volumique ({#\rho_{fluide}#}) du fluide avec le volume ({#V#}) du corps plongé dans le fluide.

{## F_p= \rho_{fluide} \times V g ##}

La pression en fonction de la profondeur dans l'eau

L'eau est un fluide incompressible. Au fur et à mesure que vous plongez profondément dans l'eau une masse d'eau de plus en plus importante vous sépare de la surface. La pression à une profondeur (h) donnée est la somme de la pression à la surface (donc la pression atmosphérique (p_atm)) avec le poids de l'eau au-dessus d'une surface de 1 m² située à cette profondeur. Comme la pression est une force par unité de surface de 1 m²

{## p(h)= p_{atm} + \frac{\rho_{eau} \times 1 m^2 \times h \times g}{1 m^2} = p_{atm} + \rho_{eau} \times h \times g##}

où g est la constante de gravité (9,8 m/s sur la Terre).

La pression dans les gaz

La situation des gaz est différente de celle des liquides puisque le gaz est un fluide compressible. Autrement dit, à mesure que vous augmentez la pression, le volume occupé par le gaz sera réduit. Ceci rend le comportement du gaz plus complexe que celui du liquide. Il est toutefois possible d'établir une relation entre la pression et le volume. Une telle relation se nomme la fonction d'état. Dans le cas d'un gaz parfait ou les interaction entre les particules sont faibles, on peut démontrer que l'équation d'état prends la forme suivante:

{## p V = N k_B T ##}

où p est la pression du gaz, V est le volume du gaz, N est le nombre de particules et T la température en kelvin. La constante k_B est la constante de Boltzmann qui vaut 1,38064852 × 10^-23 m² kg s^-2 K^-1.

Tout comme la pression en profondeur dans un liquide, la pression atmosphérique correspond au poids de l'air au-dessus d'une surface de 1 m'^2' entre l'endroit étudié et l'espace. Toutefois comme l'air est un gaz la masse volumique {#\rho#} de l'air diminue avec l'altitude. Cette diminution est de forme quasi exponentielle. De plus comme la température en fonction de l'altitude dépend de plusieurs phénomènes physiques variables (p. ex. à certaines altitudes l'ozone absorbe les ultra-violets), l'équation de la pression en fonction de l'altitude n'est pas simple. On utilise généralement des ballons sondes pour déterminer ce profil de pression qui change en fonction du temps et du site géographique.

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