La mécanique au collégial - Martin Aubé 2008 
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Somme de vecteurs
Propriétés de la somme des vecteurs
| (1) | {# \vec{A} + \vec{B} = \vec{B} + \vec{A} #} |
| (2) | {# c (\vec{A} + \vec{B}) = c \vec{A} + c \vec{B} #} |
| (3) | {# \vec{A} - \vec{B} = \vec{A} + (-\vec{B}) #} |
| (4) | {# -(- \vec{B}) = \vec{B} #} |
où {# c #} est un scalaire
Représentations géométriques
- {# \vec{A} + \vec{B} = \vec{C} #}
- {# \vec{A} #} et {# - \vec{A} #}
- {# \vec{A} - \vec{B} = \vec{D} #}
- {# 2 \times \vec{A} #}
On définit le vecteur résultant comme étant le vecteur obtenu de la somme de plusieurs vecteurs.
L'addition en composantes
Cette opération se résume à sommer les composantes {# \vec{i} #} et {# \vec{j} #} séparément.
soient
{# \vec{A} = A_x \vec{i} + A_y \vec{j} #}
et
{# \vec{B} = B_x \vec{i} + B_y \vec{j} #}
La somme est donnée par
{# \vec{A} + \vec{B} = (A_x + B_x) \vec{i} + (A_y + B_y) \vec{j} #}
Exemple:
soient
{# \vec{A} = 2,1 \vec{i} + 1,3 \vec{j} #}
et
{# \vec{B} = 5 \vec{i} -2 \vec{j} #}
{# \vec{A} + \vec{B} = (2,1 + 5) \vec{i} + (1,3 -2) \vec{j} #}
{# \vec{A} + \vec{B} = 7,1 \vec{i} + -0,7 \vec{j} #}
Combinaison linéaire
Une combinaison linéaire se résume en une somme pondérée de vecteurs.
Exemple:
Soient
{# \vec{A} = 2,1 \vec{i} + 1,3 \vec{j} #}
et
{# \vec{B} = 5 \vec{i} -2 \vec{j} #}
La combinaison linéaire {# \vec{C} = 3 \vec{A} + 2 \vec{B} #}
donne en composantes
{# \vec{C} = 3 \times 2,1 \vec{i} + 3 \times 1,3 \vec{j} + 2 \times 5 \vec{i} -2 \times 2 \vec{j}#}
Les termes en {# \vec{i} #} et {# \vec{j} #} regroupés conduit à:
{#\vec{C} = (3 \times 2,1 + 2 \times 5) \vec{i} + (3 \times 1,3 -2 \times 2) \vec{j}#}
{# \vec{C} = 16,3 \vec{i} -0,1 \vec{j} #}
La notion de centre de masse en physique fait appel à la combinaison linéaire. Dans ce cas la position ({# \vec{r_i} #}) est pondérée par le rapport d'une masse individuelle ({# m_i #}) sur la masse totale ({#\sum_{i} m_i#}).
{# \vec{r}_{CM} = \frac{\sum_{i}{m_i \vec{r_i}}}{\sum_{i} m_i} #}
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