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ProduitMecanique

La mécanique au collégial - Martin Aubé 2008

Produit de vecteurs

Il existe deux manières de procéder au produit de vecteurs:

• le produit scalaire
• le produit vectoriel

Produit scalaire

Le résultat est un scalaire.

notation: {# {\vec{A}} . {\vec{B}} #}

Le produit scalaire peut se calculer comme suit:

{# {\vec{A}} . {\vec{B}} = A B cos(\theta_{AB})#}

{# \theta_{AB}#} est l'angle entre les vecteurs {# \vec{A} #} et {# \vec{B} #}

en composantes:

{# {\vec{A}} = A_{x} \vec{i} + A_{y} \vec{j} #}

{# {\vec{B}} = B_{x} \vec{i} + B_{y} \vec{j} #}

{# \vec{A} . \vec{B} = A_{x} B_{x} (\vec{i} . \vec{i}) + A_{x} B_{y} (\vec{i} . \vec{j}) + A_{y} B_{x} (\vec{j} . \vec{i}) + A_{y} B_{y} (\vec{j} . \vec{j}) #}

mais {# \vec{i} . \vec{j} = \vec{j} . \vec{i} = 0 #}

notons aussi que {# \vec{i} . \vec{i} = \vec{j} . \vec{j} = 1 #}

Le produit scalaire en deux dimensions se résume donc à:

{# \vec{A} . \vec{B} = A_{x} B_{x} + A_{y} B_{y} #}

Exemple:

---

Le travail ({# W #}) est défini comme l'énergie impliquée lorsqu'une force agit sur une certaine distance. Le travail est en fait un exemple physique d'application du produit scalaire. Lorsque la force est constante sur un parcours rectiligne, le travail s'exprime ainsi:

{# W = \vec{F} . \vec{d} = F_{x} d_{x} + F_{y} d_{y} #}

ou

{# W = F d cos(\theta_{Fd}) #}

S'il s'agit d'une corde soumise à une tension de 100 N ({# F = 100 #}) qui tire horizontalement sur une masse pour la faire monter un plan de 10m incliné à 60o par rapport à l'horizontale, alors le travail sera donné par:

{# W = 100 \times 10 cos(60^o) = 500 #} Joules

Produit vectoriel

Le résultat est un vecteur.

notation: {# \vec{A} \times \vec{B} #}

{# \vec{A} \times \vec{B} #} est un vecteur dont la norme est {# A B sin(\theta_{AB}) #}, qui est perpendiculaire à {# \vec{A} #} et {# \vec{B} #}, qui est orienté selon la règle de la main droite ou de la vis.

Règle de la main droite

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1. Placez votre main à plat
2. Pointez vos doigts dans la direction indiquée par le premier vecteur du produit (ici {# \vec{A} #})
3. Pliez les doigts vers la direction indiquée par le second vecteur (ici {# \vec{B} #})

Le pouce indique la direction du vecteur {# \vec{A} \times \vec{B} #}

Si les deux vecteurs sont dessinés sur un tableau, un produit scalaire qui pointe hors du tableau est réputé positif. Pour l'indiquer schématiquement vous utiliserez la convention symbolique suivante.

En composantes,le produit vectoriel se calcule comme suit:

{# \vec{A} \times \vec{B} = A_x B_y \vec{k} - A_y B_x \vec{k} #}

Exemple:

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Le moment de force ({# \vec\tau #}) qui met en rotation accélérée un corps sur lequel il s'applique est le produit vectoriel du rayon pivot-point ({# \vec{r} #}) d'application d'une force ({# \vec{F} #}) avec la force elle-même.

{# \vec\tau = \vec{r} \times \vec{F} = r_x F_y \vec{k} - r_y F_x \vec{k} #}

ou

{# \vec\tau = \vec{r} \times \vec{F} = r F sin(\theta_{rf}) #} orienté selon la règle de la main droite.

Si on enroule une corde sur une roue de 25 cm de rayon et que la roue est libre de tourner autour de son centre, calculez le moment de force exercé par la corde sur la roue si la tension dans la corde est de 100 N.

La direction de la corde est forcément tangentielle à la roue et donc perpendiculaire au rayon.

{# \vec\tau = 0,25 \times 100 sin(90^o) = 25 N.m #}