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Rapport1

Catherine BOULAY

Geneviève GOULET

Jonathan BÉCHETTE

Science de la nature

Groupe 2410




Division de Cassini




Rapport de laboratoire présenté à

M. Martin AUBÉ, PhD.

Physique Mécanique

Département de Physique




Cégep de Sherbrooke

26 Novembre 2007

!Introduction

Saturne, connu dans la méthodologie romaine comme Dieu de l’agriculture, a longtemps été admiré pour ses anneaux majestueux. Contrairement à ce qu’on peut penser, les anneaux ne sont pas formés d’un simple disque plein, mais plutôt d’un amas de milliers, voir des millions de débris laissés derrière lors de la formation du système solaire. Lorsqu’on observe de proche les anneaux on perçoit de nombreuses divisions ainsi que plusieurs variations de densité tout au long de ces 70 000 km de rayon.

La division de Cassini, située entre l’anneau A et B, est probablement la division la plus facile à observer et la plus distincte. Avec ses 4500 km de long, cette division contient plusieurs vides partiels. Ces vides partiels apparaissent comme des trous, des sections sombres divisant les anneaux. Le modèle informatique construit au cours du projet nous a permis de démontrer ce qui forme ces vides partiels et de mieux comprendre l’évolution de cette formation propre à Saturne.

Il a été démontré qu’un effet de résonance entre deux orbites, soit celle d’une lune et celle d’un satellite en orbite autour de saturne, créer ces espaces de plusieurs kilomètres à travers les anneaux. Dans le cas de la division de Cassini, la lune responsable de cette résonance est Mimas. La division de Cassini, et plus précisément Huygen’s Gap, est formé par la résonance 2:1 entre Mimas et l'objet. Une résonance 2:1 se forme lorsqu’un satellite en orbite parcourt deux fois son orbite et que la lune en effectue qu’une. Lorsque nous avons une résonance fixe, la trajectoire du satellite oscille en augmentant, créant par la suite une éjection partielle des particules sur une certaine distance.

! Cadre Théorique

Afin de démontrer qu’un objet placé à l’intérieur de la division de Cassini sera éventuellement éjecté de sa trajectoire, le modèle du système planétaire de saturne a été simplifié. Les forces qui interagissent dans le module ont été limitées aux forces de Mimas et Saturne affectant le système à trois objets. Mimas est donc en orbite autour de Saturne, qui elle-même est, affecté par la gravité de Mimas. Le satellite à l’intérieur de la division de Cassini est par la suite affecté par cette combinaison des forces gravitationnelles.

Graphiquement, le phénomène de résonance désiré entre Mimas et le satellite devrait nous démontrer des oscillations régulières lorsqu’établi. Le graphique devient donc relatif au temps et à la mesure du rayon.

Les coordonnées (x,y) de chacun des satellites nous permettent d’obtenir leur rayon individuel. La méthode utilisée pour déterminer leur position à un intervalle de temps préétabli est la méthode de Verlet. Lorsqu’elle est utilisée sur une longue période de temps, celle-ci, par contre, présente un problème de précision. Cette erreur produite par le calcul est toujours positive, ce qui, à long terme, est représenté par une augmentation constante des rayons de chacunes des orbites. En réalité, il n’y a aucune augmentation si constante dans le rayon des orbites des lunes de Saturne.

La méthode de Verlet permet d’obtenir les coordonnées (x,y) à partir de la vitesse et de l’accélération de chacun des satellites. Ceux-ci sont recalculés selon un intervalle de temps optimal établi comme constante lors de la rédaction du modèle.

Étant donné que ces anneaux sont créés sur une longue période de temps, il est nécessaire d’avoir un espacement temporel minimal. Les calculs doivent également être répétés sur une longue période de temps. Ceci permet d’avoir une représentation qui se rapproche de la réalité.

! Méthodologie

En premier lieu, les constantes du modèle se doivent d’être établies.

Tableau 1. Détermination des constantes du modèle

Comme vous pouvez le remarquer, la masse expérimentale est multiplier par un facteur 1000 comparativement à la masse réelle de Mimas. Ceci permet d'amplifier la démonstration du phénomène de résonance entre Mimas et l'objet.

L’utilisation de la méthode de Verlet permet, avec une précision limitée, de déterminer les coordonnées des trois satellites en orbite. Le tableau ci-dessous exprime les fonctions utilisées.

Afin de simplifier le modèle du système de Saturne, imaginons que Saturne, l’objet, et Mimas sont initialement sur l’axe des X. Saturne est donc le centre, Mimas situé a 1,855E+8 m de Saturne, et l’objet situé à l’intérieur de la Division de Cassini, soit environ entre 1,1758E+8 m et 1,222E+8 m du centre de Saturne.

Contrairement à la vitesse, l’accélération initiale est en X seulement; l’accélération en Y initial est nulle du à l'initialisation du modèle sur l’axe des X. Il est également important de s’assurer que les accélérations de Mimas et de Saturne soient exprimées en signe opposé. L’accélération sur Mimas est simplement la force gravitationnelle Fg exprimée par Saturne, et inversement pour l’accélération de Saturne. L’accélération de l’objet, par contre, est la combinaison des forces effectuée par Saturne et Mimas.

Les vitesses en X sont toutes initialisées à 0m/s, tandis que les vitesses en Y, pour chacun des objets, sont calculées individuellement comme démontré dans la liste des exemples de calculs, ci-bas.

Par la suite, la méthode de Verlet est appliquée et permet de calculer les postions X et Y des trois orbites, de façon continue, sous une période de temps prédéterminée; les calculs sont répétés deux milliards de fois. Le modèle démontre des orbites circulaires malgré l’elliptique réelle des orbites du système. Ceci n’empêche pas de démontrer l’effet d’oscillation régulière dans l’orbite de l’objet à l’intérieur de la Division de Cassini. L’erreur positive constante du modèle peut être démontrée par l’écart entre le rayon initial entre Saturne et Mimas, et l’écart entre ce même rayon à la fin de la simulation. Dans le cas présent, une erreur moyenne de 4,5E+5 m, soit 450 km s’accumule sur une période de 231 jours. Lors des observations, il est important de considérer seulement les oscillations qui sont plus grandes que l'erreur de rayon.

Le modèle est mis en marche une fois tous les calculs établis. Ce qui permet au modèle de refléter la réalité c'est d’avoir un pas de calcul très bas et de pouvoir produire le plus d’orbites possible. Le modèle simule une période de temps d’environ 231 jours terrestre, soit approximativement 245 orbites pour Mimas. Avec ce nombre d’orbites, le phénomène de résonance peut être observé clairement.

Une fois terminé, le programme fournit les coordonnées (x,y) pour chacun des satellites en orbite. Un graphique peut par la suite être produit. Pour démontrer le phénomène désiré, un graphique du rayon de l’objet en orbite doit être produit en relation constante avec le temps.

Afin d’avoir un échantillon de graphique concluant, plusieurs tests limites se doivent d’être effectués. Sachant la position moyenne de la Division de Cassini, plusieurs distances initiales doivent être testé. Ceci permet de démontrer que les oscillations observées près de la Division de Cassini sont différentes que celles produitent a l’extérieure de cette Division. Nous allons nous concentrer sur des tests limites effectués sur la distance initiale de l’objet. Une erreur du au pas de calcul est considérablement faible comparé à l’erreur produite par la méthode de Verlet.

! Observations, interprétation des observations et résultats :

Comme énoncé plus haut, la source d’erreur majeure de ce modèle est la méthode de Verlet^[1]. Seul ce calcul accumule une erreur positive constante, résultant, par exemple, à un écart de rayon de 4,5E+5 m sur l’orbite de Mimas. Chacunes des données utilisées concernant la masse ou la distance des satellites ont étés recueillies sur le site de la Nasa. Aucune donnée n’a été mesurée de façon à ne pas introduire une incertitude quelconque.

Exemple de Calcul

• Rayon

• Force de Gravité

• Vitesse en Y

• Vitesse en X

• Position X Y Verlet

Ce qui est recherché comme preuve qu’un objet, par exemple un satellite quelconque, inséré dans la Division de Cassini sera expulsé du au phénomène de résonance créer par Mimas est un type d’oscillation suivant :

Ce graphique démontre une oscillation se propageant avec une amplitude qui augmente sous intervalle régulier. La constance de l’oscillation est la clé de la démonstration du phénomène. La résonance 2:1 avec Mimas a comme effet d’exercer une tire sur l’objet à un intervalle fixe, soit ici, à chaque fois que Mimas amorce son orbite une nouvelle fois. Dans le cas présent, une résonance 2:1 est lorsque l’objet effectue deux orbites et que Mimas en effectue qu’une.

Étant donné la simplicité du modèle, une boucle constante d’oscillation est observée; le graphique 1 démontre huit répétitions de ce phénomène. Mimas crée donc une résonance avec le satellite situé dans la Division de Cassini et le déloge de son orbite initiale. Au maximum de l’oscillation, les forces de gravité exercées par Mimas et Saturne se stabilisent. Lorsque les oscillations atteignent leur amplitude maximale le satellite n’est plus situé dans la zone de résonance 2:1, l’amplitude de la résonance est donc diminuée. Le satellite quitte la zone de résonance, mais n’est pas capté par le système de lune réelle de Saturne (seule Mimas est utilisée dans le modèle expérimental). Le satellite est donc repositionné dans la zone de résonance et le phénomène est répété.

En réalité, une fois que le phénomène est mis en marche, l’amplitude des oscillations régulières du satellite en résonance est en constante augmentation. Une fois que le satellite est éjecté de la zone de résonance 2:1, il est capté et stabilisé par les autres forces gravitationnelles du système planétaire de Saturne.

Si l’on observe une oscillation, comme celle du graphique 2, un autre phénomène peut être détecté. La concentration des coordonnées est beaucoup plus élevée aux extrémités qu’au milieu des oscillations. Ceci créer un vide partiel; les particules sont moins longtemps positionnées au milieu qu’aux extrêmes. Les particules voyagent donc plus rapidement à l’intérieure de cette zone qu’aux extrêmes; simulant un vide partiel.

Comme il a été discuté dans la méthodologie, la masse de Mimas affecte la représentation des oscillations ainsi que l’amplitude de celles-ci. Les graphiques suivants démontrent cette différence. La simulation du graphique 3 a été effectuée avec la masse de Mimas multiplié d’un facteur 1000, tandis que celle du graphique 4 consiste d’une multiplication de facteur 10. Il est également possible de remarquer que l’amplitude de l’oscillation du graphique 4 est plus mince que l’augmentation du rayon en général. Rappelons que ce type d’augmentation de rayon est dû à l’erreur positive accumulée par la méthode de Verlet. Ceci devient une raison supplémentaire d’augmenter la masse de Mimas afin d’avoir une démarcation adéquate. Il est également nécessaire de rappeler que le modèle à une durée de 231 jours; les divisions ont été créées sur une durée de plusieurs années.

!Discussion

Le phénomène de résonance est beaucoup plus complexe que ce que notre modèle peut expliquer. À la base, Saturne est entouré d’une soixante de lune et plusieurs d’entre elles effectuent d’autres résonances à travers les anneaux, créant d’autres divisions ^[2]. Pour être effectué à perfection, la période de l’objet dans la division de Cassini ce doit d’avoir une journée précisément la moitié de celle de Mimas. Ceci crée une résonance parfaite qui est démontrée par l’oscillation régulière présentée dans le graphique 5. Pour appuyer notre simulation, le site internet de la NASA présente un PDF très concluant de la formation des divisions à travers les anneaux^[3].

Sachant que le modèle démontre le phénomène, l’interprétation des résultats est très importante. Dans notre modèle, aucune donnée n’a été mesurée, ce sont tous des données moyennes obtenues sur le site internet de la NASA. Nous avons donc conclu que ces données sont toutes des valeurs théoriques et qu’il nous est inutile de calculer une incertitude sur celle-ci. Par contre, la méthode utilisée, soit la méthode de Verlet, devient donc notre plus grande source d’erreur. Ce lien donne accès au document présentant l’erreur produite par la méthode de Verlet^[1]. Sachant maintenant que sur une longue période de temps, Verlet introduit une erreur constante et positive, nous devons donc généraliser nos résultats. Même si notre simulation avait été effectuée sur plusieurs années, Verlet n’est pas assez précis pour démontrer parfaitement le phénomène. Par contre, une méthode telle Runge-Kutta aurait été plus adéquate, mais également plus complexe à calculer. Ceci explique également pourquoi nous avons multiplié la masse initiale de Mimas par un facteur 1000. Les oscillations démontrées par la masse réelle de Mimas sont plus petites que celle produite par l’erreur accumulée.

Par contre, le modèle est très flexible. Il permet de diminuer le pas de calculs avec une très grande précision et d’augmenter le nombre de calculs effectué. Si la méthode de Runge-Kutta avait été utilisée à l’origine, le programme aurait pu aisément simuler plusieurs années de rotation de Mimas autour de Saturne. Par la suite, le phénomène de résonance aurait pu être identifié avec une plus grande certitude.

!Conclusion

En conclusion, le modèle que nous avons créé afin de démontrer qu’un objet situé dans la Division de Cassini est éjecté de cette zone fonctionne. Les graphiques démontrant les oscillations dans le rayon de l’objet situé dans la division de Cassini reflètent la réalité. Nous avons simplement ajusté la masse de Mimas pour le démontrer concrètement. Il est possible d’améliorer le modèle, mais nous devrions utiliser une méthode de calcul plus précise, ajouter le plus de lunes possible et également nous assurer que le programme effectue une simulation sur plusieurs années, avec un plus petit pas de calculs. Ceci demanderait probablement à un ordinateur de calculer ce programme pendant plusieurs heures, voir des jours. Pour terminer, le programme démontre le phénomène de résonance comme prévu et explique ce qui créer le vide partiel dans la Division de Cassini. Sous une longue période de temps, chaque satellite entrant dans une zone de résonance avec une lune est éjecté de cette trajectoire.

!Médiagraphie

[1] http://www.cegepsherbrooke.qc.ca/~graphycs/aubema/PHYII/modelisation.pdf , Date consulté: 27 Novembre 2007

[2] http://solarsystem.nasa.gov/planets/profile.cfm?Object=Saturn&Display=Facts , Date consulté: 27 Novembre 2007

[3] http://saturn.jpl.nasa.gov/multimedia/products/pdfs/20060425_CHARM_Colwell.pdf , Date consulté: 27 Novembre 2007

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