Projet de session : Résolution numérique d'un système complexe

Ce projet d'envergure vise à favoriser l'intégration de plusieurs concepts de physiques tant sur le plan théorique, numérique qu'expérimental. Il se déroulera durant les 12 premières semaines de la session. Le thème du projet sera choisi parmi la liste ci-dessous. Chaque étudiant devra répartir sur ce formulaire, 100 unités qu'il attribuera au(x) projet(s) de son choix pour établir son intérêt face à un thème ou l'autre. Le professeur s'assurera ensuite de former les équipes en veillant à avoir des groupes optimisant l'intérêt face au thème. Cette démarche déterminera les équipes pour tous les autres projets du cours. Les équipes ne devront pas comporter plus de 4 membres.

Liste des thèmes et hyperliens pertinents

Simulation de la division de Cassini dans les anneaux de Saturne.
- http://fr.wikipedia.org/wiki/Division_de_Cassini
Simulation des points de Lagrange du système Terre-Lune
- http://fr.wikipedia.org/wiki/Point_de_Lagrange
Simulation d'un voyage intersidéral à partir de la Terre
- http://fr.wikipedia.org/wiki/Propulsion_spatiale
Mouvement d'une planète dans une système d'étoiles binaires
- http://www.solstation.com/habitable.htm
Simulation de l'effet de fronde gravitationnelle pour la propulsion de vaisseau spatial
- http://www.onversity.net/cgi-bin/progarti/art_aff.cgi?Eudo=bgteob&P=a0706
Simulation d'une collision d'un amas d'étoile avec un object compact (version simplifiée de la collision de galaxies)
- http://www-dapnia.cea.fr/Sap/Phocea/Vie_des_labos/Ast/ast_actu.php?id_ast=934
- http://www.unice.fr/DeptPhys/informatique/galax/index.html
Simulation de l'effet de marée
Simulation d'un système de masse et de ressorts tendus entre deux tiges (ressorts linéaires et non-linéaires). Ce projet conduit à l'étude des vibrations dans des structures.
Simulation de la formation des queues de comètes.
Propulsion dans le système solaire par pression de radiation (voile solaire)
- http://fr.wikipedia.org/wiki/Photovoile

Les systèmes complexes sont souvent impossibles à résoudre analytiquement faute d'outils mathématiques suffisamment avancés. Pour contourner ce problème, un certain nombre de méthodes de résolution numérique ont été élaborées. Ces méthodes ont démontré tout leur intérêt avec l'avènement d'ordinateurs puissants accessible à tous.

Méthodes numériques

La méthode numérique se résume à effectuer l'intégrale temporelle d'une fonction. Dans le cas qui nous intéresse la fonction à intégrer sera l'accélération. La première étape de votre projet est donc d'élaborer une fonction donnant l'accélération par rapport aux variables comme la vitesse (p.ex dans le cas de frottement fluide), la position (p.ex. dans le cas de force de gravitation), ou tout autre paramètre physique pertinent.

Il existe plusieurs façons de réaliser cette intégration numérique. La plus simple est la méthode de Euler qui a le désavantage de générer une erreur plus grande. La méthode Runge-Kutta est par contre très précise mais a le désavantage non négligeable d'être assez complexe à mettre en place. Aussi dans le cadre de votre projet je vous suggère fortement d'opter pour une méthode de précision intermédiaire nommée méthode de Verlet. Si vous désirez obtenir de plus amples informations sur les méthodes numériques je vous suggère de lire ce document synthèse que j'ai écris.

Méthode de Verlet

Dans le texte qui suit, un variable suivie de l'apostrophe indique la dérivée par rapport au temps de cette variable. S'il y a deux apostrophes alors il s'agit de la dérivée seconde par rapport au temps. Par exemple si la variable est x, x' represente la vitesse selon x et x'' l'accélération selon x. L'indice sous la variable indique quant à lui le numéro du pas de calcul ( {⚠ $ \Delta t $} ). Par exemple x₀ indique la position à t=0 et x_i, la position à {⚠ $ t = i \Delta t $}.

La méthode de Verlet s'exprime comme suit:

{⚠ $ x_{i+1} = x_{i} + x'_{i} \Delta t + \frac{1}2 x''_{i} {\Delta t}^2 $}

{⚠ $ x'_{i+1} = x'_{i} + \frac{1}2 (x''_{i+1} + x''_{i}) {\Delta t} $}

Pour être implémentée cette méthode requiert que l'accélération à t=0 et {⚠ $ t = \Delta t $}. Ces valeurs devront être estimées par vous au meilleur de vos connaissances. Il y aurait aussi moyen d'utiliser la méthode de Euler pour trouver l'accélération à {⚠ $ t = \Delta t $}. La détermination de l'accélération à t=0 ne pose pas de problème puisque vous devrez poser les valeurs initiales de position et vitesse.

Votre premier défi consiste à trouver une expression de votre accélération en x et en y. Pour y arriver vous exprimez la force sur la première masse m₁ de la façon suivante:

{⚠ $ a_{1x} = \frac{\sum F_{1x}}{m_1} $}

{⚠ $ a_{1y} = \frac{\sum{F_{1y}}}{m_1} $}

Vous avez donc à déterminer l'équation donnant la somme de force exercées sur la masse 1. Procédez de la même façon pour chaque masse impliquée dans votre problème.

Application: Orbite d'un satellite

Appliquons cette méthode à un problème simple qui consiste à résoudre le mouvement d'un satellite autour d'un très grande masse telle que le Soleil. Pour simplifier nous prendrons pour acquis que le mouvement du Soleil ne sera pas perturbé par le satellite (dans vos projets vous ne pourrez pas faire cette supposition).

Notre exemple se réduit donc à trouver l'accélération en x et y d'une seule masse soit cette du satellite.

L'unique force agissant sur le satellite est la force de gravité provoquée par la présence du Soleil. Cette force est donnée par l'équation suivante:

{⚠ $ F_x = \frac{G {m_s} m (x-x_s)}{r^3} $}

Ici x est la position du satellite en x, x_s est la position du Soleil en x et r est la distance séparant le satellite et le Soleil. Une équation analogue peut être écrite en y. r peut être calculé avec le théorème de Pytagore:

{⚠ $ r = \sqrt{(x-x_s)^2+(y-y_s)^2} $}

Nous connaissons donc maintenant l'accélération en x et en y car elles sont données par la force divisée par la masse du satellite m.

L'étape suivante consiste à insérer toutes ces équations dans un tableau excel.

L'orbite du satellite dans excel

Le tableau ci-dessous représente ce que vous devrez entrer dans excel pour résoudre ce problème.

	A	B	C	D	E	F	G
1	G =	6,67e-11	.	.	.	.	.
2	ms =	2e30	.	.	.	.	.
3	m =	1	.	.	.	.	.
4	Dt	1000	.	.	.	.	.
5	xs	0	.	.	.	.	.
6	ys	0	.	.	.	.	.
7	vxs	0	.	.	.	.	.
8	vys	0	.	.	.	.	.
9	.	.	.	.	.	.	.
10	t	x	y	vx	vy	ax	ay
11	0	150E9	0	0	=2PI()B11/365,25/24/3600	=`⚠ $B$`1`⚠ $B$`2`⚠ $B$`3*(`⚠ $B$`5-B11)/((`⚠ $B$`5-B11)^2+(`⚠ $B$`6-C11)^2)^(3/2)	=`⚠ $B$`1`⚠ $B$`2`⚠ $B$`3*(`⚠ $B$`6-C11)/((`⚠ $B$`5-B11)^2+(`⚠ $B$`6-C11)^2)^(3/2)
12	=A11+`⚠ $B$`4	=B11+D11`⚠ $B$`4+1/2F11*`⚠ $B$`4^2	=C11+E11`⚠ $B$`4+1/2G11*`⚠ $B$`4^2	=D11+1/2(F11+F11)`⚠ $B$`4	=E11+1/2(G11+G11)`⚠ $B$`4	copier F11	copier G11
13	copier A12	copier B12	copier C12	=D12+1/2(F13+F12)`⚠ $B$`4	=E12+1/2(G13+G12)`⚠ $B$`4	copier F12	copier G12
14	copier A13	copier B13	copier C13	copier D13	copier E13	copier F13	copier G13

Si vous entrez ces données dans excel ou openoffice, vous devriez avoir un résultats semblable à ceci:

Sur cette figure, les cases jaunes sont des données fixes (des constantes de la nature ou des conditions initiales) alors que les cases orangées sont de simple copies (Ctrl-c Ctrl-v) de la case qui précède verticalement. Notez que le graphique de x en fonction de y (c.-à-d. la forme de la trajectoire) donne un cercle. En fait dans ce problème j'ai simulé un objet de 1 kg en orbite autour du Soleil à la distance Terre-Soleil qui aurait une période orbitale de 365,25 jours.

Dans cet exemple nous avons utilisé un pas de calcul de 100000 sec (à peu pres 1 jour) mais qu'est-ce qui se passe si nous définissons un pas de calcul beaucoup plus long. Pour répondre à cette question, j'ai fixé le pas de calcul à 1500000 sec, soit près de deux semaines. Voici le résultat:

Vous remarquez clairement que la trajectoire n'est plus du tout circulaire ce qui démontre qu'un choix de pas de calcul trop grand génère des erreurs numériques graves. Il faudra donc porter une attention particulière à ce choix pour votre projet.

Dans notre exemple, j'ai calculé la vitesse initiale de la masse de sorte qu'elle puisse faire un tour en un an sur une orbite circulaire. Voyons ce qui se passe si nous augmentons de 20% la vitesse initiale (nous revenons aussi au pas de calcul de 100000sec).

Notez que les limites des axes a été augmentée afin que pouvoir toute la trajectoire. Il apparait que si la vitesse n'es pas bien choisie, l'orbite n'est plus circulaire mais plutot elliptique tel que la loi de Kepler l'énonçait.

Modèle de page excel pour le problème à 3 corps soumis à la gravitation

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Pistes pour la rédaction du rapport

Un rapport complet devra être remis.

Il devrait notemment comprendre:

Une introduction qui explique brièvement le projet
Une démonstration de l'équation de base de votre système
L'iIllustration des cas limite de votre système (avec des graphiques) afin de confirmer la justesse de votre modèle. Les cas limites correspondent à des situations où le système complexe que vous modélisez se résume à une situation simple dont la solution mathématique est connue. Vous pourrez alors comparer le résultat de la modélisation au résultat exact analytique.
Commenter brièvement les résultats de vos cas limites
Faire un graphique qui met en évidence le comportement complexe du système (p. ex. mouvement en présence du frottement fluide.
Vos graphiques et tableaux doivent être conformes aux normes de présentation présentées dans le guide du département http://www.cegepsherbrooke.qc.ca/~phy/download/Utilisation%20ordi%20rapports%20laboratoire%202006.pdf username=physique mot-de-passe=spin.
La rédaction doit être conforme au guide Boiclair et Pagé
Le rapport doit être écrit exclusivement en format wiki sur votre espace d'équipe.
Les figures doivent être ajoutées au wiki soit avec la balise Attach: ou Img: selon qu'il s'agit d'un petite ou grande image. Le format préconisé est le format jpg.
Les équations peuvent être éditées avec la syntaxe jsmath (voir la FAQ) ou simplement être insérée comme une image jpg avec la balise Attach:.

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