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AmortiMecaniqueLa mécanique au collégial - Martin Aubé 2008
Le mouvement harmonique amortiSupposons que nous ajoutions une force de frottement dépendante de la vitesse au système masse ressort. Nous comprenons intuitivement que l'amplitude des oscillations ira en diminuant avec le temps. Mais qu'advient-il de la période d'oscillation? {#\sum F_x = m a_x#} {#-k x - b v_x = m a_x#} où b est le coefficient de frottement dans le fluide, {#-k x - b \frac{dx}{dt} = m \frac{d^2x}{dt^2}#} Posons
Alors {#\frac{dx}{dt} =-A_0 \lambda e^{-\lambda t} sin(\omega_p t + \phi) + A_0 \omega_p e^{-\lambda t} cos(\omega_p t + \phi)#} et {#\frac{d^2x}{dt^2} =A_0 \lambda^2 e^{-\lambda t} sin(\omega_p t + \phi) - A_0 \lambda \omega_p e^{-\lambda t} cos(\omega_p t + \phi) - A_0 \omega_p \lambda e^{-\lambda t} cos(\omega_p t + \phi) - A_0 {\omega_p}^2 e^{-\lambda t} sin(\omega_p t + \phi)#} En substituant x et ses dérivées dans l'équation de Newton puis en regroupant les termes en cos et sin. {#(-k + b \lambda - m \lambda^2 + m {\omega_p}^2) A_0 e^{-\lambda t} sin(\omega_p t + \phi) + (-b \omega_p +2 m \lambda \omega_p) A_0 e^{-\lambda t} cos(\omega_p t + \phi) = 0#} Il faut donc que {#-k + b \lambda - m \lambda^2 + m {\omega_p}^2 =0#} et {#-b \omega_p +2 m \lambda \omega_p = 0#} De la seconde condition il découle que
et en combinant ce résultat dans la première condition nous obtenons
Autrement dit dans un mouvement harmonique amorti, la période est constante mais légèrement différente de la période sans frottement mais l'amplitude décroît exponentiellement avec le temps. La figure ci-dessous correspond à un système avec m=1 kg, k=10 N/m et b=0,25 kg s-1.  Exemple: Un amortisseur d'automobile Certains amortisseurs d'automobiles sont constitués d'un ressort et d'un piston à frottement fluide (généralement de l'huile). Dans un tel système la masse oscillante est l'automobile. Pour le confort il n'est pas souhaitable que l'automobile entre en oscillation prolongée au moindre obstacle rencontré sur la route. On ajoute alors une force de frottement fluide afin d'absorber rapidement la vibration. Un bon amortisseur est donc caractérisé par une grande constante d'amortissement ({#\lambda#}) de sorte que l'automobile ne complète pas plus d'un cycle perceptible par les passagers. Supposons une automobile de 2000 kg qui passe au-dessus d'un nid de poule de 20 cm de profondeur. Si la constante du ressort de l'amortisseur est de 10000 N/m, trouvez la constante d'amortissement requise pour que le début du second cycle soit atténué de 99% de sa valeur initiale. Supposez que l'amplitude initiale est égale à la profondeur du nid de poule. L'amplitude de l'oscillation en fonction du temps est donnée par {#A = A_0 e^{-\lambda t} #} De plus nous savons que pour un système masse-ressort, la fréquence angulaire est donnée par {#\omega = \sqrt{\frac{k}{m}} #} Comme {#\omega = \frac{2 \pi}{T}#}, nous pouvons calculer la période qui correspond au temps pour une oscillation. {#T = \frac{2 \pi}{\sqrt{\frac{k}{m}}} #} Dans le cas qui nous intéresse, nous obtenons {#T = \frac{2 \pi}{\sqrt{\frac{10000}{500}}} = 1,4 s#}. Nous avons utilisé une masse de 500 kg puisque le poids est réparti sur quatre amortisseurs. Comme nous désirons que l'oscillation soit réduite de 99% par rapport à sa valeur initiale et ce après un cycle (t=1,4 s), nous trouvons que la valeur après T est de 0,01 A0. {# A = 0,01 A_0 = A_0 e^{-\lambda t}#} En d'autre termes {# 0,01 = e^{-\lambda t} #} pour t=T soit {# 0,01 = e^{-\lambda T} #}. Nous cherchons {#\lambda#}. En prenant la logarithme naturel de par et d'autre de l'égalité, nous trouvons {# ln(0,01) = -\lambda T #} soit {# \lambda = - \frac{ln(0,01)}{T} = 3,29 #}
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