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DeriveeMecaniqueLa mécanique au collégial - Martin Aubé 2008
La dérivée en physiqueLa dérivée permet de définir comment est affectée une variable (p. ex. y) par la variation d'une autre (p. ex. x)? La notation utilisée est {# \frac {dy} {dx} #}. Si x et y sont les coordonnées dans un espace en deux dimensions, la dérivée correspond à la pente instantanée de la courbe (la pente de la tangente à la courbe). Img:pente.jpg Par contre si la dérivée est par rapport au temps alors il s'agit d'un taux de variation temporel. Si la variable dérivée est la température alors nous aurons la variation temporelle de température, si la variable dérivée est la position x alors nous aurons la variation temporelle de la position x. Cette dernière est définie comme la vitesse selon {# \vec{i} #}. Img:vitesse.jpg Exemple: Imaginons un professeur faisant les cent pas devant la classe. Si nous orientons notre référentiel de sorte que l'axe des x soit parallèle au déplacement du professeur et que l'origine soit à la position du professeur à t=0, alors sa position en fonction du temps aura cette allure: Img:x-centpas.jpg En prenant la dérivée de cette fonction nous obtenons la vitesse en fonction du temps qui aura cette allure: Img:v-centpas.jpg Puis si une seconde dérivée est appliquée nous obtenons la variation temporelle de la vitesse soit l'accélération du professeur. Img:a-centpas.jpg La courbe d'accélération montre que pour la majorité du temps, l'accélération du professeur est nulle sauf au moment où il change de direction. Les pics observés sont des fonction gamma (un pic infiniment mince). En réalité comme le changement de direction ne peut être instantané, ces pics devraient avoir une largeur non nulle... La dérivée d'un vecteurSoit {# \vec r = x \vec i + y \vec j #} le vecteur position, la dérivée temporelle de ce vecteur correspond au vecteur vitesse. {## \frac{d\vec r} {dt} = \frac{d (x \vec i)}{dt} + \frac{d (y \vec j)}{dt} ##} Comme {# \vec i #} et {# \vec j #} sont constants, ils peuvent être mis en évidence {## \frac{d\vec r} {dt} = \frac{dx}{dt} \vec i + \frac{dy}{dt} \vec j ##} et donc {## \frac{d\vec r} {dt} = \vec v = v_x \vec i + v_y \vec j ##} Il s'agit de la définition du vecteur vitesse. Si nous appliquons à nouveau la dérivée sur ce résultat, nous obtenons {## \frac{d\vec v} {dt} = \vec a = a_x \vec i + a_y \vec j ##}, voit le vecteur accélération.
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