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ComposantesMecanique

La mécanique au collégial - Martin Aubé 2008

Composantes et vecteurs unitaires

Notation en composantes

Img:vecteur3.jpg
{## \vec{V} = V_{x} \vec{i} + V_{y} \vec{j} ##}

{# V_{x} #} et {# V_{y} #} sont les composantes cartésiennes du vecteur {# \vec{V} #}.

{# \vec{i} #}, {# \vec{j}#}, et {# \vec{k} #} sont des vecteurs de base de l'espace Euclidien. Ils sont unitaires et orthogonaux (i.e. leur longueur =1 et ils sont tous perpendiculaires).

On peut fabriquer n'importe quel vecteur de l'espace à l'aide d'une combinaison linéaire des vecteurs de la base.

Notez que les composantes du vecteur sont intimement liées au référentiel utilisé. Autrement dit on ne peut décrire un vecteur uniquement en donnant ses composantes, il faut aussi préciser la nature du système de référence (position de l'origine, orientation des axes).

Grandeur d'un vecteur (norme):

Soit le vecteur position défini comme

{## \vec{r} = x \vec{i} + y \vec{j} + z \vec{k} ##}

Le calcul de la grandeur de ce vecteur donne la distance {# r #} qui sépare le point (x,y) et l'origine du référentiel (0,0).

Cette distance est évaluée à l'aide du théorème de Pythagore:

{## r = \sqrt{x^{2} + y^{2} + z^{2}} ##}

De façon plus générale pour un vecteur qui n'est pas positionné sur l'origine, on utiliseras:

{## r = \sqrt{(x_f-x_i)^{2} + (y_f-y_i)^{2} + (z_f-z_i)^{2}} ##}

où {# x_f #} et {# x_i #} représentent respectivement la position finale et initiale du vecteur par rapport à {# \vec{i} #}. De même pour {# y_f #}, {# y_i #}, {# z_f #}, et {# z_i #}.

Égalité de vecteurs

Deux vecteurs sont égaux s'ils ont la même norme et la même direction.

Img:vecteur4.jpg
{## \vec{A} = \vec{B} ##}

et donc

{# A_{x} = B_{x} #}, {# A_{y} = B_{y} #}, ...