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CinematiqueMecanique

La mécanique au collégial - Martin Aubé 2008

Les équations du mouvement

La cinématique

Au niveau collégial, la compétence à résoudre des problèmes de trajectoires se limite essentiellement à deux cas très simples soient:

1. Le mouvement à vitesse constante
2. Le mouvement à accélération constante

Dans ces deux cas il est possible de déduire des équations de la position et de la vitesse en fonction du temps pour autant que la vitesse initiale et l'accélération initiale soient connues. Dans la majorité des cas nous ferons appel à la deuxième loi de Newton pour déterminer la valeur de l'accélération.

Dans ce qui suit nous utiliserons la définition de la position, de la vitesse et de l'accélération pour retrouver les équation du mouvement dans les deux cas cités plus haut. Nous ferons aussi appel au concept de l'intégrale que nous exploiterons ici comme outils inverse de la dérivée.

Mouvement uniformément accéléré

Soit une masse m soumise à une accélération constante a_x0 selon l'axe des x.

{#a_x=\frac{dv_x}{dt}=a_{x0}#}

En réorganisant cette équation nous pouvons obtenir

{#dv_x=a_{x0} dt#}

Si l'intégrale est effectuée de part et d'autre de l'équation nous obtenons

{#\int{dv_x} = \int{a_{x0} dt}#}

et donc

{#v_x +C_1 = a_{x0} (t+C_2)#}

où C₁ et C₂ sont des constantes d'intégration. En isolant v_x et en regroupant les constantes que nous renommerons C nous obtenons:

{#v_x = a_{x0} t + C#}

Comme à t=0, la vitesse est par définition la vitesse initiale {#v_{x0}#} nous pouvons remplacer C par {#v_{x0}#}.

Un fois de plus nous réorganisons cette équation pour obtenir

{#dx = (a_{x0} t + v_{x0}) dt#}

puis en prenant l'intégrale de part et d'autre

{#\int{dx} = \int{(a_{x0} t + v_{x0}) dt} = \int{a_{x0} t dt}+ \int{v_{x0} dt}#}

ce qui donne

{# x + C_1 = a_{x0} (\frac{1}{2} t^2 + C_2) + v_{x0} (t+C_3) #}

Isolons x et regroupons toutes les constantes en une seule que nous nommerons C.

{#x = \frac{1}{2} a_{x0} t^2 + v_{x0} t + C #}

Lorsque t=0 cette équation donne forcément la position initiale ce qui implique que {#C=x_0#}.

Les équations surlignées en jaune sont les équations du mouvement à accélération constante.

Mouvement à vitesse constante

Un cas particulier d'accélération constante est celui de l'accélération nulle ou si vous préférez la vitesse constante.

Si nous posons {#a_x0=0#} dans les équations du mouvement ci-haut, nous obtenons les équations du mouvement à vitesse constante.