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A07Cours1ProjetSessionProjet de session : Résolution numérique d'un système complexeCe projet d'envergure vise à favoriser l'intégration de plusieurs concepts de physiques tant sur le plan théorique, numérique qu'expérimental. Il se déroulera durant les 12 premières semaines de la session. Le thème du projet sera choisi parmi la liste ci-dessous. Chaque étudiant devra répartir sur ce formulaire, 100 unités qu'il attribuera au(x) projet(s) de son choix pour établir son intérêt face à un thème ou l'autre. Le professeur s'assurera ensuite de former les équipes en veillant à avoir des groupes optimisant l'intérêt face au thème. Cette démarche déterminera les équipes pour tous les autres projets du cours. Les équipes ne devront pas comporter plus de 4 membres. Liste des thèmes et hyperliens pertinents
Les systèmes complexes sont souvent impossibles à résoudre analytiquement faute d'outils mathématiques suffisamment avancés. Pour contourner ce problème, un certain nombre de méthodes de résolution numérique ont été élaborées. Ces méthodes ont démontré tout leur intérêt avec l'avènement d'ordinateurs puissants accessible à tous. Méthodes numériquesLa méthode numérique se résume à effectuer l'intégrale temporelle d'une fonction. Dans le cas qui nous intéresse la fonction à intégrer sera l'accélération. La première étape de votre projet est donc d'élaborer une fonction donnant l'accélération par rapport aux variables comme la vitesse (p.ex dans le cas de frottement fluide), la position (p.ex. dans le cas de force de gravitation), ou tout autre paramètre physique pertinent. Il existe plusieurs façons de réaliser cette intégration numérique. La plus simple est la méthode de Euler qui a le désavantage de générer une erreur plus grande. La méthode Runge-Kutta est par contre très précise mais a le désavantage non négligeable d'être assez complexe à mettre en place. Aussi dans le cadre de votre projet je vous suggère fortement d'opter pour une méthode de précision intermédiaire nommée méthode de Verlet. Si vous désirez obtenir de plus amples informations sur les méthodes numériques je vous suggère de lire ce document synthèse que j'ai écris. Méthode de VerletDans le texte qui suit, un variable suivie de l'apostrophe indique la dérivée par rapport au temps de cette variable. S'il y a deux apostrophes alors il s'agit de la dérivée seconde par rapport au temps. Par exemple si la variable est x, x' represente la vitesse selon x et x'' l'accélération selon x. L'indice sous la variable indique quant à lui le numéro du pas de calcul ( {$ \Delta t $} ). Par exemple x0 indique la position à t=0 et xi, la position à {$ t = i \Delta t $}. La méthode de Verlet s'exprime comme suit: {$ x_{i+1} = x_{i} + x'_{i} \Delta t + \frac{1}2 x''_{i} {\Delta t}^2 $} {$ x'_{i+1} = x'_{i} + \frac{1}2 (x_{i+1} + x_{i}) {\Delta t} $} Pour être implémentée cette méthode requiert que l'accélération à t=0 et {$ t = \Delta t $}. Ces valeurs devront être estimées par vous au meilleur de vos connaissances. Il y aurait aussi moyen d'utiliser la méthode de Euler pour trouver l'accélération à {$ t = \Delta t $}. La détermination de l'accélération à t=0 ne pose pas de problème puisque vous devrez poser les valeurs initiales de position et vitesse. Votre premier défi consiste à trouver une expression de votre accélération en x et en y. Pour y arriver vous exprimez la force sur la première masse m1 de la façon suivante: {$ a_{1x} = \frac{\sum F_{1x}}{m_1} $} {$ a_{1y} = \frac{\sum{F_{1y}}}{m_1} $} Vous avez donc à déterminer l'équation donnant la somme de force exercées sur la masse 1. Procédez de la même façon pour chaque masse impliquée dans votre problème. Application: Orbite d'un satelliteAppliquons cette méthode à un problème simple qui consiste à résoudre le mouvement d'un satellite autour d'un très grande masse telle que le Soleil. Pour simplifier nous prendrons pour acquis que le mouvement du Soleil ne sera pas perturbé par le satellite (dans vos projets vous ne pourrez pas faire cette supposition). Notre exemple se réduit donc à trouver l'accélération en x et y d'une seule masse soit cette du satellite. L'unique force agissant sur le satellite est la force de gravité provoquée par la présence du Soleil. Cette force est donnée par l'équation suivante: {$ F_x = \frac{G {m_s} m (x-x_s)}{r^3} $} Ici x est la position du satellite en x, xs est la position du Soleil en x et r est la distance séparant le satellite et le Soleil. Une équation analogue peut être écrite en y. r peut être calculé avec le théorème de Pytagore: {$ r = \sqrt{(x-x_s)^2+(y-y_s)^2} $} Nous connaissons donc maintenant l'accélération en x et en y car elles sont données par la force divisée par la masse du satellite m. L'étape suivante consiste à insérer toutes ces équations dans un tableau excel. L'orbite du satellite dans excelLe tableau ci-dessous représente ce que vous devrez entrer dans excel pour résoudre ce problème.
Si vous entrez ces données dans excel ou openoffice, vous devriez avoir un résultats semblable à ceci: Sur cette figure, les cases jaunes sont des données fixes (des constantes de la nature ou des conditions initiales) alors que les cases orangées sont de simple copies (Ctrl-c Ctrl-v) de la case qui précède verticalement. Notez que le graphique de x en fonction de y (c.-à-d. la forme de la trajectoire) donne un cercle. En fait dans ce problème j'ai simulé un objet de 1 kg en orbite autour du Soleil à la distance Terre-Soleil qui aurait une période orbitale de 365,25 jours. Dans cet exemple nous avons utilisé un pas de calcul de 100000 sec (à peu pres 1 jour) mais qu'est-ce qui se passe si nous définissons un pas de calcul beaucoup plus long. Pour répondre à cette question, j'ai fixé le pas de calcul à 1500000 sec, soit près de deux semaines. Voici le résultat: Vous remarquez clairement que la trajectoire n'est plus du tout circulaire ce qui démontre qu'un choix de pas de calcul trop grand génère des erreurs numériques graves. Il faudra donc porter une attention particulière à ce choix pour votre projet. Dans notre exemple, j'ai calculé la vitesse initiale de la masse de sorte qu'elle puisse faire un tour en un an sur une orbite circulaire. Voyons ce qui se passe si nous augmentons de 20% la vitesse initiale (nous revenons aussi au pas de calcul de 100000sec). Notez que les limites des axes a été augmentée afin que pouvoir toute la trajectoire. Il apparait que si la vitesse n'es pas bien choisie, l'orbite n'est plus circulaire mais plutot elliptique tel que la loi de Kepler l'énonçait. Modèle de page excel pour le problème à 3 corps soumis à la gravitationPistes pour la rédaction du rapportUn rapport complet devra être remis. Il devrait notemment comprendre:
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