La mécanique au collégial - Martin Aubé 2008

Légende

Cours de dynamique TGM

Questions et exercices sur le mouvement de rotation

Fossiles (MetC)

Les anneaux de croissance des coraux révèlent que l'année comportait 398 jours il y a 200 MA.

Trouvez la durée du jour à cette époque. Réponse=22 heures
Si on suppose que le ralentissement est attribuable à la chute de météorite sur la surface terrestre estimez la masse annuelle ajoutée à la surface (supposez qu'elle se dépose uniformément sur la surface). Réponse=1,7x10¹⁵kg

Spin *

Un électron au repos possède un moment cinétique égal à h/4p, où h= la constante de Plandk (6,63x10^-34 J s). À une certaine époque il était suggéré que l'électron était une sphère uniforme de rayon égal à 2 x 10^-15 m. (Cette valeur est obtenue lorsqu'on fixe l'énergie potentielle électrique de la sphère à m c².) Nous supposerons que c'est vrai, et que le moment cinétique origine de la rotation de cette sphère à une vitesse angulaire \omega.

Trouvez la valeur de \omega requise pour arriver au moment cinétique cité plus haut.
Calculez la vitesse avec laquelle l'équateur de l'électron tourne. (Votre réponse devrait dépasser la vitesse de la lumière. Une rumeur dit que dans les années 1920, Wolfgang Pauli a découragé un étudiant de publier son idée selon laquelle une électron possédait un spin sur la base de ce calcul. Cette démonstration est fausse pour deux raisons. Premièrement, si l'électron est une sphère en rotation aussi rapide, la relativité devrait être considérée. La formule classique de moment cinétique ne fonctionne donc pas. Deuxièmement, au meilleur de notre connaissance, l'électron n'est pas une sphère mais se rapproche plutôt d'un point. Son moment cinétiques ne proviendrait pas d'un mouvement de rotation!)

Énergie et centre de masse * (MetC)

Décrivez comment une balle solide peut se déplacer de sorte que (i) son énergie cinétique totale est uniquement déterminée par l'énergie de mouvement de son centre de masse, et (ii) sont énergie cinétique totale est l'énergie de mouvement par rapport à son centre de masse.
Deux boules de quille se déplacent sur une allée de sorte que leurs centres de masse ont la même vitesse, mais une glisse alors que l'autre roule. Quelle boule a le plus d'énergie? Expliquez.

Réponses: 1-i: la balle glisse sur une surface glacée sans tourner; 1-ii: on fait pivoter la balle sur elle-même comme une toupie; 2: celle qui roule car pour les deux l'énergie cinétique du centre de masse est le même mais celle qui tourne possède en plus une énergie cinétique de rotation

Vaisseau en orbite *

Sur la figure ci-dessous, un vaisseau parcoure une orbite elliptique autour de la Terre. Placez le centre de votre système de coordonnées au centre de la Terre.

Attach:vaisseau.gif Δ

Sur une copie papier de la figure, dessinez les vecteurs représentant

la position du vaisseau en A puis en B.
la vitesse du vaisseau en A puis en B.
l'accélération du vaisseau en A puis en B.

Dessinez vos vecteurs de manière à ce qu'ils puissent être facilement distingués en donnant une légende colorée par exemple.

Pilote spatial *

Supposez que vous pilotez une vaisseau spatial du problème précédent et que le point A est à 3 rayon terrestre de la surface de la Terre et que le point B est à un rayon terrestre du centre. Vous êtes au point A et voulez changer d'orbite.

Qu'est-ce qui arrive à la forme de votre orbite si vous décidez d'accélérer dans la direction de votre vitesse en allumant vos fusées arrière brievement?
Qu'est-ce qui arrive à la forme de votre orbite si vous décides de ralentir dans la direction de votre vitesse en allumant vos fusées de devant brievement?
Si vous voulez vous placer sur orbite circulaire passant par le point A, comment devriez vous vous y prendre? Appuyez votre reponse par des calculs.

Point tournant *

Un objet est fixé à la périphérie d'un disque en rotation à vitesse constante. Au temps t=0 il se situe à la position et se déplace à la vitesse illustrées ci-dessous. L'objet parcours une rotation complète. Une série de graphiques sont fournis ci-dessous. Associez un graphique à chacun des six items ci-dessous.

Attach:pointtournant.gif Δ

La comporante x de la vitesse
L'angle que le vecteur position de l'objet fait avec l'axe de x.
La composante y de la force qui maintien l'objet en mouvement circulaire uniforme.
La vitesse angulaire de l'objet.
La vitesse de l'objet.
La composante x de la position de l'objet.

Attach:graphtournant.gif Δ

Réponses: 1: C; 2: A; 3: C; 4: E; 5: E; 6:B

Jurassique * (MetC)

Dans le film Jurassic Park, il y a une scène au cours de laquelle des visiteurs du parc s'enferment dans la cuisine avec des dinosaures à l'extérieur. Le paléontologue appuie sur le centre de la porte, afin d'empècher le dinosaure d'entrer. La botaniste se précipite pour appuyer sur la porte à sa partie de droite près des charnières. Un élément critique de cette scène est qu'elle ne peut atteindre un fusil au sol car elle veut aider a maintenir la porte fermée.

Attach:jurassic.gif Δ

Si le paléontotogiste appuie au centre de la porte, et la botaniste près des charnières, évaluez ou le paléontologiste devrait se repositionner pour avoir une plus grande capacité à maintenir la porte fermée que lorsque les deux poussent selon leurs positions montrées dans le film.

Réponse: Le paléontogue devrait pousser le plus près possible de l'extrémité gauche de la porte et le plus perpendiculairement possible.

Archimède *

Une tige de masse négligeable est installée sur un pivot sans frottement tel qu'illustré ci-dessous. Les masses m₁ et m₂ sont suspendues aux distances L₁ et L₂ tel qu'illustré.

Attach:archimede.gif Δ

Écrivez l'équation représentant l'énergie potentielle des masses en fonction de l'angle que fait la tige avec l'horizontale.
Pour quel angle l'énergie potentielle est-elle minimale? Est-ce que l'affirmation «Un système tend à se placer dans son minimum d'énergie potentielle.» est cohérente avec votre résultat?
Montrez que si m_1 L_1 = m_2 L_2, l'énergie potentielle est la même peu importe l'angle. Ceci étant dit, le système sera à l'équilibre peu importe l'angle. Ce résultat est connu comme le principe du levier d'Archimède.

Réponses: 1: m_2 g L_2 sin \theta - m_1 g L_1 sin \theta ; 2: 0 degrés; 3: elle est nulle tout le temps

Et pourtant elle tourne * (MetC)

Estimez le moment cinétique de votre corps soumis à la rotation diurne de la Terre autour de l'axe nord-sud.

Réponse: en supposant un rayon de la Terre de 6000 km et une latitude de 45 deg. et une rotation de la Terre en 24h et une masse de la personne de 70 kg: 91,6 x 10⁹ kg m² s^-1

Poulies * (MetC)

Deus masses M₁ et M₂ cont reliées par un corde de masse négligeable passant sur une poulie tel qu'illustré ci-dessous. Supposez que la poulie a une masse m et un rayon R et qu'il n'y a pas de frottement entre la surface inclinée et la masse M₂. Attach:poulies3.gif Δ

Dessinez les diagrammes de forces pour les masses M₁ et M₂ en prenant soin d'indentifier le phénomène à l'origine de chaque force.
Trouvez le moment de force net agissant sur la poulie par rapport au centre de la poulie.
Trouvez l'accélération des masses.

Réponses: 1: M=\frac{m R a}{2} ; 2: a=g \frac{\left(m_2 sin \theta - m_1 \right)}{\left(m_1+m_2+\frac{m}{2}\right)}

Roue libre * (MetC)

Attach:rouelib.gif Δ

Une roue libre de masse m et de rayon R est placée de sorte que son axe de rotation soit vertical. Une corde est enroulée sur la jante de la roue vous permettant de mettre la roue en mouvement en tirant sur la corde. Si vous tirez dessus jusqu'à ce que la corde soit complètement déroulée en appliquant une force constante F, et si la corde a une longueur d, trouvez le moment cinétique final de la roue juste après avoir cessé de tirer.

Réponse: L=R \sqrt{d m F}

Roue * (MetC)

Évalues le moment cinétique d'un pneu d'automobile par rapport à son axe de rotation alors que vous roulez sur l'autoroute.

Vélo *

Une roue de bicyclette est soutenue au-dessus du sol par un support rigide et est entrainée par une chaîne et une engrenage tel qu'illustré ci-dessous. Seulement la partie supérieure de la chaîne est tendue. La masse de la roue est M et la masse de l'engrenage m est beaucoup plus petite que M (m << M). Le rayon de la roue est R et celui de l'engrenage r.

Attach:velo.gif Δ

Si on force sur les pédales de sorte que la chaîne est soumise à une tension de T, quelle sera l'accélération angulaire \alpha de la roue?
En partant du repos, combien de temps t devront nous appuyer sur les pédales pour atteindre la vitesse angulaire \omega? (Négligez le frottement dans les roulements à billes.)
À partir des valeurs M = 2 kg, R = 0.7 m, r = 0.15 m, T = 20 N, et \omega= 200 tours/minute, trouvez les valeurs de \alpha et t.

Terre qui tourne *

Estimez le moment cinétique de la Terre due à sa rotation diurne sur son axe. La masse volumique moyenne de la Terre est de 5 grammes / cm³.

Atwood *

La figure ci-dessous illustre une machine de Atwood avec deux masses inégales attachées à une corde de masse négligeable. La poulie possède une masse de 20 g et un rayon de 2 cm.

Attach:atwood.gif Δ

Éconcez trois approximations que vous pouvez faire pour simplifier les calculs déterminant la position et la vitesse des masses. (Faire une appriximation est un processus qui consiste à ignorer un phénomène physique lorsqu'on s'attend à ce que son effet soit assez faible sur le comportement général du système.)
Utilisez vos approximations pour trouver l'accélération de la masse A.
Que se passe-t'il avec votre résultat si vous posez les deux masses égales? Est-ce que le résultat correspond à ce que vous attendiez? Expliquez.
Si vous avez négligé le moment d'inertie de la poulie dans vos calculs écrivez les équations qui vous permettraient de trouver l'accélération lorsqu'il n'est pas négligé.

Yoyo * (MetC)

En testant le desing d'un yoyo, une ingénieure décide d'entreprendre la construction d'un prototype -- une corde enroulée autour d'un disque de bois. Elle à utilisé des roulements à bille à très faible frottement. Pour mesurer le moment d'inertie du disque, elle a attaché une masse m à la corde et chronomètre le temps pour que la masse tombe d'une certaine distance.

Attach:yoyo.gif Δ

En supposant que le moment d'inertie est I=2, et le rayon du disque est R=0,1m, trouvez le temps que prend la masse de 200g pour parcourir la distance h=0,5m en partant du repos.

Réponse: t=3,19s

Auto écolo * (MetC)

Une solution pour réduire le problème de pollution de l'air est d'utiliser une automobile propulsée par une roue d'inertie. A la place d'un moteur, l'automobile contient un grand disque d'acier, ou roue d'inertie, qui est monté de sorte qu'elle tourne sur un axe vertical. Un moteur électrique permet de la mettre en très grande vitesse de rotation durant la nuit. Si l'automobile a la même taille que les automobiles classiques, évaluez la quantité d'énergie qui pourrait être emmagasinée dans la roue. Vous trouverez surement les valeurs suivantes utiles:

masse volumique de l'acier = 6 gm/cm³
masse typique d'une automobile = 1000 kg
vitesse maximale d'une roue d'inertie = 1000 tours/minute
fraction de monoxyde de carbone produit par les automobiles = 60%.

Réponse: l'ordre de grandeur serait de 1 000 000 joules

Porsche *

Two students are driving a Porsche of mass M at a constant speed v around the traffic circle in front of the Physics building. Assume that the road in the circle is level and has a radius R. The coefficient of friction between the car's wheels and the road is m.

Attach:porsche.gif Δ

      (a) In terms of the quantities given, what is the magnitude and direction of the car's acceleration?
      (b) At the instant when it passes directly in front of the Physics building, is there a net force on the car? If there is, what is responsible for it and how big must it be? Express your answer in terms of the quantities given and explain your reasoning.
      (c) The mass of the car and passengers is 1700 kg, the circle has a radius R = 25 m, and the coefficient of friction between rubber
      and a dry road is m = 0.6. What is the fastest speed the car can go without slipping?

Auto écolo 2 *

A new low pollution automobile might run on energy stored in a spinning disk, or flywheel. The wheel would be set spinning in the morning (using electrical energy from a plug in the wall) and its energy drawn off a bit at a time to set the car moving. For this problem, we will ignore the mechanisms required for getting the flywheel spinning and for transferring the flywheel's energy to the wheels of the car. We will simply calculate the energies required.

Suppose the car had a loaded mass of 2000 kg (including the mass of the flywheel and passengers). How much energy in Joules do we need to provide to get the car up to a speed of 15 m/s (about 33 mph)?
Suppose the flywheel was a solid steel disk with a radius of 40 cm and a height of 25 cm. The density of steel is 6 gm/cm3. Calculate its moment of inertia.
If we wanted the flywheel to contain enough energy to bring the car up to speed 100 times during the day, how fast would it have to be spinning when we left in the morning?

Jogging *

A jogger runs around a circular track of 30 m radius at a constant speed in a clockwise direction. He completes one lap in 40 seconds.

Attach:jogging.gif Δ

Compare the directions and magnitudes of
1. his instantaneous velocity at A,
2. his instantaneous velocity at C, and
3. his average velocity going from A to C.
If the runner completes exactly one lap what is his average velocity? Explain your answer.
Is the magnitude of his average velocity from A to B bigger, smaller or equal to the magnitude of his average velocity from A to C? Explain your reasoning.

Frigidaire *

A refrigerator has separate shelves on the door for storing bottles as shown in the picture at the right. Thin plastic straps keep the bottles from falling of the door. At one point, a teenager under the influence of too much teenage energy and hormones, slammed the door with a bit too much vigor and a heavy bottle broke the strap.

Attach:frigo.gif Δ

Do you think the bottle would be more likely to break the plastic strap if it is close to the hinge? close to the handle? or doesn't it matter?
Explain your answer in terms of the physics we have learned.

Fil *

Wire is often delivered wrapped on a large cylindrical spool. Suppose such a spool is supported by resting on a horizontal metal rod that is pushed through a hole that runs through the center of the spool. A worker is pulling some wire off the spool by exerting a force on it something like is shown in the diagram at the right. (If you have ever bought wire in a hardware store, this is the way they usually store and dispense it.)

Attach:fil.gif Δ

Suppose the spool rotates on the rod essentially without friction. The spool is approximately a uniform cylinder with a mass of 50 kg and a radius of 30 cm. The worker pulls on the wire for 2 seconds with a force of 30 Newtons. At the end of the 2 seconds he immediately clamps on a brake which very quickly stops the spool's rotation. Just before he put the brake on, how fast was the spool rotating? How much wire did he pull off the spool?

(*) Adapté de Activity Based Physics Thinking Problems in Physics, http://www.physics.umd.edu/perg/abp/think/index.html

ExercicesRotationMecanique