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Examen 1

  1. Le plus gros téléphérique du monde (Vanoise express) relie les stations de ski savoyardes de la Plagne et des Arcs (alpes françaises). Il surplombe le centre de la vallée à une hauteur maximale de 380 m. Nous supposerons que les points d'ancrages du câble sont à la même hauteur de part et d'autre (en réalité il y a une différence de 60 m). La distance horizontale entre les deux points d'ancrage du câble est de 2000 m et le câble mesure 2200 m de longueur. La nacelle suspendue au câble, qui a une capacité de 200 places, possède une masse de 25 tonnes incluant la masse des passagers (1 tonne = 1000 kg).
    Supposez que la masse des câbles est négligeable et que le câble ne s'étire pas.
    Img:vanoise.png
    1. Déterminez la position horizontale et verticale de la poulie par rapport au point de départ lorsque le système atteint son état d'équilibre si le moteur et les freins ne sont pas sollicités (négligez la dimension de la poulie). Réponse: En l'absence de force latérale du moteur ou des freins, la seule position où la somme des forces horizontale est nulle correspond à la position centrale.
      Img:vallee.png
    2. Quelle est la tension dans le câble à cette position? (supposez que la poulie est libre) Réponse: 294048 N
    3. Si vous considérez que le câble porteur est retenu par le dispositif d'ancrage ci-contre, déterminez la tension dans le câble d'ancrage pour la position utilisée en 1) et 2). Réponse: 308720 N
      Img:ancrage.png
    4. Quelle est la force de normale à la base du mât? Supposez que le mât possède une masse de 2000 kg.Réponse: 296367 N
  2. Un cycliste décrit un cercle de 25 mètres de rayon à la vitesse de 5 m/s. Si nous nous plaçons dans le référentiel du cycliste, le système vélo-cycliste peut être considéré à l'équilibre pour autant qu'une force fictive centrifuge soit considérée. Pour maintenir son état d'équilibre, de quel angle le cycliste doit-il incliner sa bicyclette pendant le virage si on l'imagine assis de façon normale (comme sur la figure ci-dessus)? Vous pouvez supposer que le rayon de rotation du centre de masse est aussi de 25 m. Réponse: 5,8 deg.
    Img:cycliste.png
  3. Un câble de 50 m de longueur est suspendu verticalement. Si la masse par unité de longueur du câble est de 1 kg/m, déterminez la tension dans le câble en fonction de la hauteur par rapport à la limite inférieure du câble. N.B. Contrairement à un câble de masse négligeable, un câble massif voit sa tension peut varier sous l'action de son propre poids.Réponse: T=9,8 h
  4. Après avoir pris quelques verres de whisky de trop le capitaine Haddock décide de faire une ballade hors de la fusée. Il devient bien malgré lui le nouveau satellite officiel de l'astéroïde Adonis. La distance séparant le centre de masse d'Adonis et le capitaine s'élève à 10000 m, et la masse d'Adonis vaut 5 x 1015 kg.
    1. Déterminez la période de rotation du capitaine autour de l'astéroïde en supposant que son orbite est circulaire. (G=6.67x10-11 kg.m3/s2) Réponse: T=10880 s soit 3h
    2. À quelle vitesse la fusée devrait avancer pour pouvoir récupérer le capitaine en toute sécurité (voir figure ci-contre).Réponse: v=28,7 m/s
      Img:fusee.png
    1. Si chaque cm2 de section de l'objet ci-contre possède une masse de 100 g, déterminez la masse totale de l'objet et la position du centre de masse. Réponse: m=1,8 kg x=3, y=1,833 par rapport au coin inférieur gauche
    2. De quel angle peut-on incliner l'objet avant qu'il ne bascule. Imaginez que vous le faites pivoter vers la droite autour du point P.Réponse: 58,6 deg.
      Img:t.png
  6. Soit le système ci-contre composé d'un agencement de trois poutres prenant appuie sur le rebord d'un mur (point P) et soutenu par un câble horizontal.
    Img:structure.png
    1. Si la poutre C possède une masse de 50 kg, que toutes les poutres ont été fabriquées à partir d'un même matériau (même composition et même épaisseur) et que leurs longueurs sont identiques (8m) mais que leurs largeurs diffèrent, déterminez la position du centre de masse du système constitué par les trois poutres A, B, C. Réponse: x=4m y=1,88m par rapport au point P
    2. Supposez que le câble possède une masse négligeable et déterminez la tension minimale que ce dernier doit être capable de supporter pour que le système soit en équilibre. Indice: Considérez l'ensemble des trois poutres comme un corps unique dont la masse correspond à la masse totale agissant au centre de masse et considérez les forces agissant sur ce corps. Réponse: 980 N
    3. Déterminez la (les) force(s) exercée(s) par le mur sur la structure au point P.Réponse: 980 N
  7. Quelle est la constante de gravité au sommet du Mauna Kea (volcan de la grande Ile à Hawaii)? Considérez le fait que vous vous éloignez du centre de la terre mais que la montagne elle-même exerce aussi une force de gravité sur vous. La hauteur du Mauna Kea = 4200m et sa base mesure 50 km (vous pouvez assimiler la montagne à un cône). Le centre de masse d'un cône se situe au-dessus de la base à ¼ de sa hauteur. La masse de la Terre est de 5,98 x 1024 kg et le rayon de la Terre est de 6370 km. De plus supposez que la masse volumique de la montage est la même que celle de la Terre et que le volume d'un cône est donné par 1/3 A H où A est l'aire de la base et H la hauteur du cône.
    1. Quelle est la constante de gravité « g » au sommet de la montagne? Réponse: 9,919 N
    2. Quelle était la constante de gravité « g » au niveau de la mer avant que le volcan ne sorte de terre? Réponse: 9,829 N

Examen 2

  1. Les anneaux de croissance des coraux révèlent que l'année comportait 398 jours il y a 200 MA.
    1. Trouvez la durée du jour à cette époque. Réponse=22 heures
    2. Si on suppose que le ralentissement est attribuable à la chute de météorite sur la surface terrestre estimez la masse annuelle ajoutée à la surface (supposez qu'elle se dépose uniformément sur la surface). Réponse=1,7x1015kg
  2. Une chaîne uniforme de masse M et de longueur L est suspendue à un crochet par une extrémité.
    1. Quel travail devra-t-on faire pour y accrocher l'autre extrémité? Indice: Le centre de masse d'un objet uniforme de densité constante est toujours situé en son centre géométrique. Réponse=MgL/4
    2. On peut répéter le processus en soulevant la partie la plus basse jusqu'à la hauteur du crochet. Écrivez les quatre premiers termes de la somme représentant le travail effectué depuis le début. Réponse=MgL/4+MgL/8+MgL/16+MgL/32 Vers quelle valeur cette somme va-t-elle converger après un grand nombre de répétitions? Réponse=MgL/2(ne tenez pas compte de la dimension des anneaux)
      Img:chaine.png
  3. Une navette spatiale exécute une opération d'arrimage avec une station orbitale. La masse de la station vaut 1000 tonnes, la masse de la navette vaut 50 tonnes, et la vitesse de la navette par rapport à la station orbitale est de 0,1 m/s (1 tonne = 1000 kg).
    1. Déterminez la vitesse finale de l'ensemble. Réponse=0,00476m/s
    2. Afin d'éviter que ce changement de vitesse n'affecte l'orbite de la station, on procède à la mise à feu des réacteurs d'appoint de la station dès que l'arrimage est réussi. Si la vitesse des molécules d'eau produites par la réaction entre H2 et O2 dans le réacteur vaut 1000 m/s, calculez la masse de carburant-comburant nécessaire pour que la station retrouve son état de mouvement initial. Vous pouvez considérer la masse de carburant-comburant négligeable par rapport à celle de la station. Réponse=5 kg
  4. Soit le véhicule ci-dessous propulsé via une ficelle enroulée à l'essieu de la roue arrière et attachée à une masse suspendue de m=1 kg initialement élevée à une hauteur de 50 cm. En excluant la masse suspendue, la masse du véhicule est de mv=0,3 kg.
    Img:vehicule.png
    1. Si la vitesse initiale du véhicule est nulle, calculez l'énergie disponible pour propulser le véhicule. Sous quelle forme se présente cette source d'énergie initiale? Réponse=4,9Joules sous forme d'énergie potentielle
    2. Quel est l'avantage mécanique théorique du système de propulsion? Réponse=1/10
    3. Quelle est la distance parcourue par le véhicule lorsque la masse touche la plate-forme? Réponse=5m
    4. Si vous supposez que la masse de la roue motrice est négligeable et que le frottement du mécanisme de propulsion est nul, quelle sera la vitesse finale du véhicule lorsque la masse m aura parcouru les 50 cm et reposera sur la plate-forme? Indice: La vitesse du véhicule est 10x plus grande que la vitesse verticale de la masse suspendue. Réponse=2,74m/s
    5. Calculez l'accélération théorique du véhicule. Combien de temps serait requis dans ce cas pour parcourir les 50 cm?Réponse= a=0,75m/s2 t=3.66s
    6. Quelle est la puissance moyenne développée par le système de propulsion?Réponse=1,33W
    7. Si en réalité la vitesse finale est seulement de 90% de la vitesse théorique déterminée en 5), calculez le rendement du système.Réponse=0,81
    8. Déterminez la force de frottement moyenne durant le parcours.Réponse=0,19 N
    9. Si après avoir parcouru 5 m, le véhicule entre en collision parfaitement inélastique (la masse et le véhicule restent collés ensemble) avec la masse m2=0,5 kg, quelle est la vitesse du véhicule immédiatement après la collision? Supposez que le frottement entre les surfaces est négligeable.Réponse=1,78 m/s
    10. Même question qu'en 9) mais pour le cas d'une collision parfaitement élastique.Réponse= v1=0,056 m/s v2=6,27 m/s
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Page last modified on December 15, 2007, at 03:54 am UTC